一、单选题 （共 12 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x)$ 为已知连续函数, $I=t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f(t x) \mathrm{d} x$, 其中 $t>0, s>0$, 则 $I$ 的值 ( )
$\text{A.}$ 依赖于 $s$ 和 $t$.
$\text{B.}$ 依赖于 $s, t, x$.
$\text{C.}$ 依赖于 $t$ 和 $x$, 不依赖于 $s$.
$\text{D.}$ 依赖于 $s$, 不依赖于 $t$.
设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2}$, 则$F'(x)$ 等于
$\text{A.}$ $-e^{-x} f\left(e^{-x}\right)-f(x)$
$\text{B.}$ $-e^{-x} f\left(e^{-x}\right)+f(x)$
$\text{C.}$ $e^{-x} f\left(e^{-x}\right)+f(x)$
$\text{D.}$ $e^{-x} f\left(e^{-x}\right)-f(x)$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n^4} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i^2 \sin \frac{\pi j}{2 n}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$.
以下说法正确的是( ).
$\text{A.}$ 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有定义，则 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积
$\text{B.}$ 如果 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，则 $\Phi(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$, $x \in[a, b]$ 可导
$\text{C.}$ 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续， $c \in(a, b)$ ，则 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_c^x f(t) \mathrm{d} t=f(x) $
$\text{D.}$ 如果 $f(x)$ 是定义在区间 $[-a, a](a>0)$ 上的奇函数，则 $ \int_{-a}^a f(t) \mathrm{d} t=0$
设积分 $I=\int_0^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^a\right) \ln \left(1+x^b\right)} \mathrm{d} x$, 其中 $a>0, b>0$, 若该积分收玫, 则必有
$\text{A.}$ $0 < a < 1,0 < b < 1$
$\text{B.}$ $0 < a < 1, b>1$
$\text{C.}$ $a>1,0 < b < 1$
$\text{D.}$ $a>1, b>1$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{n}{(n+i)\left(n^2+j^2\right)}=$
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \frac{1}{(1+x)\left(1+y^2\right)} \mathrm{d} y$.
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$.
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$.
$\text{D.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)\left(1+y^2\right)} \mathrm{d} y$.
设 $I=\int \arctan x \mathrm{~d} x$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $x \arctan x-\ln \sqrt{x^2+1}+C$
$\text{B.}$ $x \arctan x-\ln \left|x^2+1\right|+C$
$\text{C.}$ $x \arctan x+\frac{1}{2}\left(x^2+1\right)+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{1+x^2}+C$.
下列广义积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \ln x d x$
$\text{B.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$
设 $f(x)$ 连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=1, \alpha(x)=\int_0^{\sqrt{x}} \frac{\ln \left(1+t^{+}\right)}{f(t)} d t, \beta(x)=\int_0^{\sin x} \frac{\sqrt{1+t^3}-1}{f(t)} d t$, 则当 $x \rightarrow 0^{+}$时, $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的
$\text{A.}$ 等价无穷小
$\text{B.}$ 同阶但非等价的无穷小
$\text{C.}$ 高阶无穷小
$\text{D.}$ 低阶无穷小
二、填空题 （共 11 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
若 $f(t)=\lim _{x \rightarrow \infty} t\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2 t x}$, 则 $f^{\prime}(t)=$
计算广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(1+|x|) \sqrt{|x(1-x)|}} \mathrm{d} x=$
设 $f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin x t}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0$, 则 $\int x^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
设 $\alpha$ 为实数, 则 $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^2\right)\left(1+x^a\right)}=$
若 $f(x)$ 有连续导数，且
$$
\int_0^\pi f(x) \sin x \mathrm{~d} x=k, f(\pi)=-2, f(0)=5,
$$
则 $\int_0^\pi f^{\prime}(x) \cos x \mathrm{~d} x=$
计算积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \frac{2 n+1}{2} x}{\sin \frac{x}{2}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $n$ 为正整数.
定积分 $I=\int_0^\pi \cos \left(\sin ^2 x\right) \cos x \mathrm{~d} x=$
设 $f(x)=\int_{-1}^x \dfrac{t^2+t}{t^6+1} \mathrm{~d} t$, 则 $f(1)=$ ________ , $f^{\prime}(1)=$ ________
已知 $e^{-x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int x^2 f(\ln x) d x=$
$\int \sqrt{x^2+2 x+2} d x$;
三、解答题 （ 共 6 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算 $\int_0^{\ln 2} \sqrt{e^x-1} \mathrm{~d} x$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^x}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)$.
求曲线 $y=\ln x(2 \leq x \leq 6)$ 的一切线，使得该切线与直线 $x=2 ， x=6$ 及曲线 $y=\ln x$ 围成 图形面积 $A$ 最小。
求 $\int \frac{x e^x}{(1+x)^2} d x$
求 $\int \frac{d x}{x \sqrt{1+x^3+x^6}}$