一、解答题 （ 共 12 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,2,3), \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,3,5), \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,-1, a+2,1), \boldsymbol{\alpha}_{4}=(1,2,4, a+8)$ 及 $\boldsymbol{\beta}=$ $(1,1, b+3,5)$.
(1) $a, b$ 为何值时, $\boldsymbol{\beta}$ 不能表示成 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 的线性组合?
(2) $a, b$ 为何值时, $\boldsymbol{\beta}$ 有 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 的唯一的线性表示式? 并写出该表示式.
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3$, 对应的特征向量依次为 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\xi}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)$, $\boldsymbol{\xi}_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 9\end{array}\right)$, 又向量 $\boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$.
（1）将 $\boldsymbol{\beta}$ 用 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ 线性表出;
（2） 求 $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{\beta}(n$ 为自然数).
设 $A$ 是 $n \times m$ 矩阵, $B$ 是 $m \times n$ 矩阵, 其中 $n < m, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 若 $A B=E$, 证明 $B$ 的列向量组线性无关.
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是一组 $n$ 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一 $n$ 维向 量都可由它们线性表示.
设
$$
\begin{gathered}
A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 2 \\
-1 & 2 & 2
\end{array}\right) \text { ， } \\
B=\left(\beta_1, \beta_2\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 4 \\
0 & 3 \\
-4 & 2
\end{array}\right) .
\end{gathered}
$$
证明 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 $R^3$ 的基，并求 $\beta_1, \beta_2$ 在这个基中的坐标.
设 $\mathrm{n}$ 阶矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha_n\right)$ 的前 $n-1$ 个列向量线性相关, 后 $n-1$ 个列 向量线性无关, $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n$, (I) 证明: 方程组 $A x=\beta$ 必有无穷多个解; (II) 若 $\left(k_1, \cdots, k_n\right)^T$ 是 $A x=\beta$ 的任意一个解, 则必有 $k_n=1$.
$\alpha_1=\left(\begin{array}{r}2 \\ 2 \\ -1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ 8\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{r}-1 \\ a \\ 3\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), \beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示, 求 $a$ 的值.
设向量组: $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}-9 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{c}2 \\ -8 \\ 2 \\ 2\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{c}3 \\ 3 \\ -7 \\ 3\end{array}\right], \alpha_4=\left[\begin{array}{c}4 \\ 4 \\ 4 \\ -6\end{array}\right]$, 求此向量组的秩和一个极大线性无关组, 并将其余的向量用该 极大线性无关组表示.
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,-1,-1), \boldsymbol{\alpha}_2=(1,2,0,3)$, 求 $\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$, 使得 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关.
若 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性无关， $\alpha+2 \beta, 2 \beta+k \gamma, \beta+3 \gamma$ 线性相 关，求 $k$.
设 $a_1=[2,1,4,3]^T, a_2=[-1,1-6,6]^T, a_3=[-1,-2, a+1,-9]^T, a_4=[a, 1,-2,7]^T$, $a_5=[2,4,4,3 a+6]^T$, 若向量组的秩为 3 , 试找出一个极大无关组, 并将其他的向量用该极 大无关组线性表示。
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为两两正交的单位向量, 又 $\boldsymbol{\beta} \neq \mathbf{0}$ 且 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关,令 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\alpha}_2^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\alpha}_3^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$.
(I) 证明: $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 唯一线性表示;
(II) 验证 $\boldsymbol{\beta}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量, 并求相应的特征值.