解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,2,3), \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,3,5), \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,-1, a+2,1), \boldsymbol{\alpha}_{4}=(1,2,4, a+8)$ 及 $\boldsymbol{\beta}=$ $(1,1, b+3,5)$.
(1) $a, b$ 为何值时, $\boldsymbol{\beta}$ 不能表示成 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 的线性组合?
(2) $a, b$ 为何值时, $\boldsymbol{\beta}$ 有 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 的唯一的线性表示式? 并写出该表示式.
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3$, 对应的特征向量依次为 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\xi}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)$, $\boldsymbol{\xi}_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 9\end{array}\right)$, 又向量 $\boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$.
（1）将 $\boldsymbol{\beta}$ 用 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ 线性表出;
（2） 求 $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{\beta}(n$ 为自然数).
设 $A$ 是 $n \times m$ 矩阵, $B$ 是 $m \times n$ 矩阵, 其中 $n < m, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 若 $A B=E$, 证明 $B$ 的列向量组线性无关.
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是一组 $n$ 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一 $n$ 维向 量都可由它们线性表示.
设
$$
\begin{gathered}
A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 2 \\
-1 & 2 & 2
\end{array}\right) \text { ， } \\
B=\left(\beta_1, \beta_2\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 4 \\
0 & 3 \\
-4 & 2
\end{array}\right) .
\end{gathered}
$$
证明 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 $R^3$ 的基，并求 $\beta_1, \beta_2$ 在这个基中的坐标.
设 $\mathrm{n}$ 阶矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha_n\right)$ 的前 $n-1$ 个列向量线性相关, 后 $n-1$ 个列 向量线性无关, $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n$, (I) 证明: 方程组 $A x=\beta$ 必有无穷多个解; (II) 若 $\left(k_1, \cdots, k_n\right)^T$ 是 $A x=\beta$ 的任意一个解, 则必有 $k_n=1$.