一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A, B$ 都是可逆矩阵, 且 $A$ 与 $B$ 相似, 则下列结论不一定正确的是
$\text{A.}$ $ A^T$ 与 $B^T$ 相似
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
$\text{C.}$ $ A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似
$\text{D.}$ $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 相似
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶实对称矩阵, 特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \boldsymbol{B}$ 为 2 阶正定矩阵, 特征值为 $\mu_1, \mu_2$. 记 $M=\max _{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}, m=\min _{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}$, 则 $M m=(\quad)$
$\text{A.}$ $\lambda_1 \lambda_2$.
$\text{B.}$ $\frac{\mu_1 \mu_2}{\lambda_1 \lambda_2}$.
$\text{C.}$ $\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\mu_1 \mu_2}$.
$\text{D.}$ 由已知条件不能确定.
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 都是 4 阶非零矩阵, 且 $\boldsymbol{A B C D}=\boldsymbol{O}$, 如果 $|\boldsymbol{B C}| \neq 0$, 记 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})+r(\boldsymbol{C})+r(\boldsymbol{D})$ $=r$, 则 $r$ 的最大值是
$\text{A.}$ 11
$\text{B.}$ 12
$\text{C.}$ 13
$\text{D.}$ 14
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 3 阶矩阵且 $\boldsymbol{A}$ 不可逆, 又 $\boldsymbol{A B}+2 \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ 且 $r(\boldsymbol{B})=2$, 则 $|\boldsymbol{A}+4 \boldsymbol{E}|=$.
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 0
已知 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵且 $|\boldsymbol{A}|=-\frac{1}{4}$, 则 $\left|\left(\frac{1}{5} \boldsymbol{A}\right)^{-1}+(2 \boldsymbol{A})^*\right|=$
$\text{A.}$ 16
$\text{B.}$ -16
$\text{C.}$ 256
$\text{D.}$ -256
设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵, $E$ 为单位矩阵, 若方程组 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解, 则
$\text{A.}$ 方程组 $\left[\begin{array}{ll}A & O \\ E & B\end{array}\right] y=0$ 只有零解.
$\text{B.}$ 方程组 $\left[\begin{array}{cc}E & A \\ O & A B\end{array}\right] y=0$ 只有零解.
$\text{C.}$ 方程组 $\left[\begin{array}{ll}A & B \\ O & B\end{array}\right] y=0$ 与 $\left[\begin{array}{ll}B & A \\ O & A\end{array}\right] y=0$ 同解.
$\text{D.}$ 方程组 $\left[\begin{array}{cc}A B & B \\ O & A\end{array}\right] y=0$ 与 $\left[\begin{array}{cc}B A & A \\ O & B\end{array}\right] y=0$ 同解.
二、判断题 （共 1 题，每小题 5 分，共 20 分）
设 $V_1, V_2, \cdots, V_s$ 都是线性空间 $V$ 的子空间, $s \geq 3$, 则 $V=V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s$ 的充分必要条件是 $V=\sum_{i=1}^s V_i$ 且 $\operatorname{dim} V=\sum_{i=1}^s \operatorname{dim} V_i$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
三、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, $|\mathbf{A}| \neq 0, \mathbf{A}^*$ 是 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵. 若 $\mathbf{A}$ 有特征值 $\lambda$, 则 $\left(2 \mathbf{A}^*\right)^{-1}$ 必有一个特征值 是
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 同为 $n$ 阶方阵.
(1) 证明: $\left(\begin{array}{cc}A B & A \\ O & O\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}O & A \\ O & B A\end{array}\right)$ 相似.
(2) 证明: $\boldsymbol{A B}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 有相同的特征多项式.
设 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & -1 & 4 \\ 2 & 5 & 3 & 1\end{array}\right|, A_{4 i}(i=1,2,3,4)$ 是 $D$ 的第 4 行元素的代数余子式，则 $A_{41}+2 A_{42}-A_{43}+2 A_{44}$ 等 于
已知三阶方阵 $A$ 的三个特征值为 $0,1,2$, 则行列式 $\left|A^T+I\right|=$
设 $4 \times 4$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\alpha, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4\right), B=\left(\beta, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4\right)$ ，其中 $\alpha, \beta, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4$ 均为 4 维列向量，且已知行列式 $|A|=4,|B|=1$, 则行列式 $|A+B|=$
四、解答题 （ 共 17 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
在线性空间 $\mathrm{R}^3$ 中, $\alpha_1=(1,0,0)^T, \alpha_2=(1,1,0)^T, \alpha_3=(1,1,1)^T$ 是一个基, $\mathrm{R}^3$ 上的线性变换 $T$ 定义为: $T\left(x_1, x_2, x_3\right)^T=\left(x_1+x_2, x_2, x_1+x_2+x_3\right)^T$,
1) 求线性变换 $T$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的矩阵 $A$;
2) 求线性变换 $T$ 的特征值与特征向量。
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,-1,-1), \boldsymbol{\alpha}_2=(1,2,0,3)$, 求 $\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$, 使得 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关.
设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 如果存在正整数 $k$, 使得 $\mathbf{A}^k=\mathbf{O}$ ( $\mathbf{O}$ 为 $n$ 阶零矩阵), 则称 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶幂零矩阵.
(1). 如果 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶幂零矩阵, 则矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值全为 0 .
(2). 如果 $\mathbf{A} \neq \mathbf{O}$ 是 $n$ 阶幂零矩阵, 则矩阵 $\mathbf{A}$ 不与对角矩阵相似.
解:
设 $A, B$ 均为 2 阶实对称矩阵, $A$ 的特征值为 $1,2, B$ 的特征值为 2 , 3. 证明:
(I) 若存在 $\xi$, 使得 $\frac{\xi^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}}{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}}=2$, 则 $\boldsymbol{\xi}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 2 的特征向量;
(II) 若存在 $\boldsymbol{\xi}$, 使得 $\frac{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}}{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}}=2, \frac{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{\xi}}{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}}=3$, 则 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B}$.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & a & 2 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ -4 & t & 0 \\ 6 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，且 $A, B$ 相似， 求 $a$ 与 $t$ 的值.
问 $a$ 满足什么条件，才能使得 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & a \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 共有两个线 性无关的特征向量?
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & a\end{array}\right]$ 只有两个不同的特征值, 求 $\mathrm{A}$ 的全部特征值和特征向量。
设 4 维向量组 $A: \alpha_1=(1,0,2,3)^T, \alpha_2=(1,1,3,5)^T \alpha_3=(1,2,4, a+6)^T$, $\alpha_4=(2,1, b+5,8)^T$ 的秩为 2 ,
(1) 求参数 $a, b$ 的值;
(2) 求 $A$ 的一个最大线性无关组, 并用最大线性无关组表示向量组其余向量.
设非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=\lambda-3 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=-2 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=-2\end{array}\right.$, 求 $\lambda$ 为何值时方程组 (1) 无解; (2) 有唯一解; (3) 有无穷多解, 并求其通解.
设 $\mathrm{n}$ 维列向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关， $A$ 为 $\mathrm{n}$ 阶方阵，证明: 向量组 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 线性相关。
设矩阵 $A$ 和 $B$ 满足关系式 $A B=A+2 B$, 求矩阵 $B$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
3 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 4
\end{array}\right),
$$
设 $B$ 是秩为 2 的 $5 \times 4$ 矩阵，
$$
\alpha_1=(1,1,2,3)^T, \alpha_2=(-1,1,4,-1)^T, \alpha_3=(5,-1,-8,9)^T
$$
是齐次方程组 $\boldsymbol{B} x=0$ 的解向量, 求 $\boldsymbol{B} x=0$ 的解空间的一个标准正交基.
设 $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}1+\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1+\lambda \\ 1\end{array}\right], \quad \alpha_3=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1+\lambda\end{array}\right], \quad \beta=\left[\begin{array}{c}0 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{array}\right]$ ，问 $\lambda$ 取何值时，
(1) $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表达式唯一?
(2) $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表达式不唯一?
(3) $\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示?
问 $a, b$ 我何值时，线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\ x_2+2 x_3+2 x_4=1 \\ -x_2+(a-3) x_3-2 x_4=b \\ 3 x_1+2 x_2+x_3+a x_4=-1\end{array}\right.$有唯一解? 无解? 有无穷多组解? 并求出有无穷多解时的通解.
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x\end{array}\right) 与 B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 相似，
(1) 求 $x$ 与 $y$ ；(2) 求一个满足 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$.
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s(s \geq 2)$ 线性无关，设
$$
\begin{aligned}
& \beta_1=\alpha_1+\alpha_2, \beta_2=\alpha_2+\alpha_3, \cdots, \\
& \beta_{s-1}=\alpha_{s-1}+\alpha_s, \beta_s=\alpha_s+\alpha_1
\end{aligned}
$$
讨论向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 的线性相关性.
设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\xi} \boldsymbol{\xi}^T$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $\boldsymbol{n}$ 阶单位矩阵， $\boldsymbol{\xi}$ 是 $n$ 维非零列向量， $\xi^T$ 是 $\xi$ 的转置，证明:
(1) $A^2=A$ 的充要条件是 $\xi^T \xi=1$ ；
(2) 当 $\xi^T \xi=1$ 时， $A$ 是不可逆矩阵.