1999年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)

导出试卷

1999年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{1 - \cos x}{\sqrt{x}} & x > 0 \\ x^{2} g (x) & x \leq 0 \end{cases}

，其中

g (x)

是有界函数，则

f (x)

在

x = 0

处

A.

极限不存在

B.

极限存在但不连续

C.

连续但不可导

D.

可导

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

2. 设

α (x) = \int_{0}^{5 x} \frac{\sin t}{t} d t, β (x) = \int_{0}^{\sin x} (1 + t)^{\frac{1}{t}} d t

，则当

x \to 0

时，

α (x)

是

β (x)

的

A.

高阶无穷小

B.

低阶无穷小

C.

同阶但不等价的无穷小

D.

等价无穷小

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

3. 设

f (x)

是连续函数，

F (x)

是

f (x)

的原函数则

A.

当

f (x)

是奇函数时，

F (x)

必是偶函数

B.

当

f (x)

是偶函数时，

F (x)

必是奇函数

C.

当

f (x)

是是周期函数时，

F (x)

必是周期函数

D.

当

f (x)

是单调增函数时，

F (x)

必是单调增函数

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

4. " 对任意给定的

ε \in (0, 1)

，总存在正整数

N

，当

n \geq N

时，恒有

| x_{n} - a | \leq 2 ε

“是数列

{x_{n}}

收敛于

a

的

A.

充分条件但非必要条件

B.

必要但非充分条件

C.

充分必要条件

D.

既非充分条件又非必要条件

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

5. 记行列式

| \begin{array}{cccc} x - 2 & x - 1 & x - 2 & x - 3 \\ 2 x - 2 & 2 x - 1 & 2 x - 2 & 2 x - 3 \\ 3 x - 3 & 3 x - 2 & 4 x - 5 & 3 x - 5 \\ 4 x & 4 x - 3 & 5 x - 7 & 4 x - 3 \end{array} |

为

f (x)

，则方程

f (x) = 0

的根的个数为

A.

B.

C.

D.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 曲线

{\begin{cases} x = e^{t} \sin 2 t \\ y = e^{t} \cos t \end{cases}

在点

(0, 1)

处的法线方程为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

7. 设函数

y = y (x)

由方程

\ln (x^{2} + y) = x^{3} y + \sin x

确定，
则

{\frac{d y}{d x} |}_{x = 0} =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

\int \frac{x + 5}{x^{2} - 6 x + 13} d x =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

9. 函数

y = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}

在区间

[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]

上的平均值为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

10. 微分方程

y^{''} - 4 y = e^{2 x}

的通解为

y =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

三、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 计算

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x \ln (1 + x) - x^{2}}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

12. 计算

\int_{1}^{+ \infty} \frac{\arctan x}{x^{2}} d x

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

13. 求初值问题

{\begin{cases} (y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}) d x - x d y = 0 (x > 0) \\ {y |}_{x = 1} = 0 \end{cases}

的解.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

14. 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口 (见图)，已知井深

30 m

，抓斗自重

400 N

，缆绳每米

50 N

，抓斗抓起的污泥重

2000 N

，提升速度为

3 m / s

，在提升的过程中，污泥以

20 N / s

的速率从缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?

明：(1)

1 N \times 1 m = 1 J; m, N, s, J

分别表示米，牛顿，秒，焦耳；(2) 抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计）.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

15. 已知函数

y = \frac{x^{3}}{(x - 1)^{2}}

，求:
（1）函数的增减区间及极值；
（2）函数图形的凹凸区间及拐点;
（3）函数图形的渐进线.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

16. 设函数

f (x)

在闭区间

[- 1, 1]

上具有三阶连续导数，

f (- 1) = 0, f (1) = 1, f^{'} (0) = 0

. 证明: 在开区间

(- 1, 1)

内至少存在一点

ξ

，使得

f^{'''} (ξ) = 3

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

17. 设函数

y (x) (x \geq 0)

二阶可导且

y^{'} (x) > 0, y (0) = 1

.过曲线

y = f (x)

上任意一点

P (x, y)

作该曲线的切线及

x

轴的垂线，上述两直线与

x

轴所围成的三角形的面积记为

S_{1}

，区间

[0, x]

上以

y = y (x)

为曲边的曲边梯形面积记为

S_{2}

，并设

2 S_{1} - S_{2}

恒为 1 ，求此曲线

y = y (x)

的方程.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

18. 设

f (x)

是区间

[0, 1)

上单调减少且非负的连续函数，

a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} f (k) - \int_{1}^{n} f (x) d x (n = 1, 2, \dots) .

证明：数列

{a_{n}}

的极限存在.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

19. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array})

, 矩阵

X

满足

A^{*} X = A^{- 1} + 2 X,

其中

A^{*}

是

A

的伴随矩阵，求矩阵

X

查看分享下载此题点赞(1) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

20. 设向量组

α_{1} = (1, 1, 1, 3)^{T}, α_{2} = (- 1, - 3, 5, 1)^{T}, α_{3} =

(3, 2, - 1, p + 2)^{T}, α_{4} = (- 2, - 6, 10, p)^{T}

.
（1）

p

为何值时，该向量组线性无关? 并在此时将向量

α = (4, 1, 6, 10)^{T}

用

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性表出；
（2）

p

为何值时，该向量组线性相关? 并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

非会员每天可以查看15道试题。开通会员，海量试题无限制查看。

无限看试题
下载试题
组卷

开通会员

热点推荐

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与

试卷白板

试卷白板提供了一个简单的触摸书写板，可供老师上课、或者视频直播时，直接利用白板给学生讲解试题，如有意见，欢迎反馈。