单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 为可导函数，且满足条件$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1)-f(1-x)}{2 x}=-1 \text { ， }$则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线斜率为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ -2
下列广义积分发散的是
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} e^{-x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^2 x} \mathrm{~d} x$
设矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩为 $R(A)=m < n ， E_m$ 为 $m$ 阶单位矩阵，下述结论中正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 的任意 $m$ 个列向量必线性无关
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的任意一个 $m$ 阶子式不等于零
$\text{C.}$ 若矩阵 $B$ 满足 $B A=0$ ，则 $B=0$
$\text{D.}$ $A$ 通过初等行变换，必可以化为 $\left(E_m, 0\right)$ 的形式
设 $n$ 维行向量 $\alpha=\left(\frac{1}{2}, 0 \cdots, 0 \frac{1}{2}\right)$ ，矩阵 $A=E-\alpha^T \alpha, B=E+2 \alpha^T \alpha,$ 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $A B$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-{E}$
$\text{C.}$ $E$
$\text{D.}$ $E+\alpha^T \alpha$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 独立同分布，记$U=X-Y, V=X+Y ，$ 则随机变量 $\boldsymbol{U}$ 与 $\boldsymbol{V}$ 必然
$\text{A.}$ 不独立
$\text{B.}$ 独立
$\text{C.}$ 相关系数不为零
$\text{D.}$ 相关系数为零
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $\mathrm{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则随着 $\sigma$ 的增大，概率 $\{|X-\mu| < \sigma\}$
$\text{A.}$ 单调增大
$\text{B.}$ 单调减小
$\text{C.}$ 保持不变
$\text{D.}$ 增减不定
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{a x}=\int_{-\infty}^a t e^t \mathrm{~d} t$ ，则常数 $a=$
设 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$ ，则 $f^{(n)}(x)=$
设 $z=x y f\left(\frac{y}{x}\right), f(u)$ 可导，则 $x z_x^{\prime}+y z_y^{\prime}=$
设 $f^{\prime}(\ln x)=1+x$ ，则 $f(x)=$
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right) ， A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $\left(A^*\right)^{-1}=$
设 $\boldsymbol{X}$ 是一个随机变量，其概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
1+x, & -1 \leq x \leq 0 \\
1-x, & 0 \leq x \leq 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
则方差 $\boldsymbol{D} \boldsymbol{X}=$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，其中参数 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 未知，记
$$
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \quad Q^2=\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2,
$$
则假设 $H_0: \mu=0$ 的 $t$ 检验应使用统计量 $t=$
解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{2}{x^2}(1-\cos x), & x < 0 \\ 1, & x=0 \\ \frac{1}{x} \int_0^x \operatorname{cost}^2 \mathrm{~d} t, & x>0\end{cases}
$$
讨论$x=0$ 处的连续性和可导性.
求不定积分 $\int(\arcsin x)^2 \mathrm{~d} x$
已知连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=\int_0^{3 x} f\left(\frac{t}{3}\right) \mathrm{d} t+e^{2 x}$ ，求 $f(x)$.
将函数 $y=\ln \left(1-x-2 x^2\right)$ 展成 $x$ 的幂级数，并指出其收敛区间.
设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明：在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使 $\frac{b f(b)-a f(a)}{b-a}=f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)$.
求二元函数 $f(x, y)=x^2 y(4-x-y)$ 在由直线 $x+y=6 ， x$ 轴和 $y$ 轴所围成的闭区域 $D$ 上的极值、最大值与最小值.
计算 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \min \{x, y\} e^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设某产品的需求函数为 $Q=Q(P)$ ，收益函数为 $R=P Q$ ，其中 $P$ 为产品价格， $Q$ 为需求量 (产品的产量)， $Q(P)$ 是单调减函数. 如果当价格为 $P_0$ ，对应产是为 $Q_0$ 时
边际收益 $\left.\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} Q}\right|_{Q=Q_0}=a>0$ ，收益对价格的边际效应 $\left.\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} P}\right|_{P=P_0}=c < 0$ ，需求对价格的弹性为 $E_P=b>1$ ，求 $P_0$ 和 $Q_0$.
设 $f(x), g(x)$ 在区间 $[-a, a](a>0)$ 上连续， $g(x)$ 为偶函数，且 $f(x)$ 满足 $f(x)+f(-x)=A$ ( $A$ 为常数).
(1) 证明: $\int_{-a}^a f(x) g(x) \mathrm{d} x=A \int_0^a g(x) \mathrm{d} x$ ；
(2) 利用(1)的结论计算定积分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x| \arctan e^x \mathrm{~d} x$.
已知向量组 (I): $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, (II): $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$,
(III): $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5$ ，如果各向量组的秩分别为$R(\mathrm{I})=R(\mathrm{II})=3, \quad R(\mathrm{III})=4,$
证明: 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5-\alpha_4$ 的秩为 4 .
对于线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=\lambda-3 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=-2 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=-2\end{array}\right.$ ，讨论 $\lambda$ 取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷解? 在方程组有无穷解时，试用导出组的基础解系表示全部解.
设三阶矩阵 $A$ 满足 $A \alpha_i=i \alpha_i(i=1,2,3)$ ，其中列向量
$\alpha_1=(1,2,2)^T, \quad \alpha_2=(2,-2,1)^T, \alpha_3=(-2,-1,2)^T \text {. }$ 试求矩阵 $\boldsymbol{A}$.
已知二次型$f\left(x_1, x_2, x_3\right)=4 x_2^2-3 x_3^2+4 x_1 x_2-4 x_1 x_3+8 x_2 x_3 \text {. }$
(1) 写出二次型 $f$ 的矩阵表达式；
(2) 用正交变换把二次型 $f$ 化为标准型，并写出相应正交矩阵.
假设一厂家生产的每台仪器，以概率为 0.70 可以直接出厂，以概率 0.30 需进一步调试，经调试后以概率 0.80 可以出厂，以概率 0.20 定为不合格品不能出厂. 现该厂新生产了 $n(n \geq 2)$ 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求:
(1) 全部能出厂的概率 $\boldsymbol{\alpha}$;
(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率 $\boldsymbol{\beta}$;
(3) 其中至少有两台不能出厂的概率 $\theta$.
假设随机变量 $X$ 服从参数为 $\mathbf{2}$ 的指数分布，证明：
$Y=1-e^{-2 X}$ 在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布.
已知随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 的联合概率密度为
$$
\varphi(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
4 x y, & 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
求 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数 $F(x, y)$.