设 $f(x), g(x)$ 在区间 $[-a, a](a>0)$ 上连续， $g(x)$ 为偶函数，且 $f(x)$ 满足 $f(x)+f(-x)=A$ ( $A$ 为常数).
(1) 证明: $\int_{-a}^a f(x) g(x) \mathrm{d} x=A \int_0^a g(x) \mathrm{d} x$ ；
(2) 利用(1)的结论计算定积分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x| \arctan e^x \mathrm{~d} x$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$