2023-2024 学年高二数学下学期期末模拟卷（新题型）

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2023-2024 学年高二数学下学期期末模拟卷（新题型）

一、单选题（共 9 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

lim_{Δ x \to 0} \frac{f (3 + Δ x) - f (3 - Δ x)}{Δ x} = 2

, 则

f^{'} (3) =

A.

-1

B.

C.

D.

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2. 设等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 已知

a_{2} + 2 a_{4} + a_{10} = 68

, 则

S_{9} =

A.

272

B.

270

C.

157

D.

153

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3. 若随机变量

X \sim N (90, σ^{2})

且

P (X \leq 70) = 0.12

, 则

P (90 \leq X \leq 110) =

A.

0.12

B.

0.24

C.

0.28

D.

0.38

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4. 已知

P (A) = \frac{1}{5}, P (B ∣ A) = \frac{1}{2}, P (\bar{B} ∣ \bar{A}) = \frac{5}{8}

, 则

P (B) =

A.

\frac{2}{5}

B.

\frac{1}{6}

C.

\frac{1}{5}

D.

\frac{3}{8}

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5. 已知由样本数据

(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 10)

组成的一个样本, 变量

x, y

具有线性相关关系, 其经验回归方程为

y = \hat{b} x + \hat{a}

, 并计算出变量

x, y

之间的相关系数为

- 0.96, \sum_{i = 1}^{10} x_{i} = - 8

\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = - 15

, 则经验回归直线经过

A.

第一、二、三象限

B.

第二、三、四象限

C.

第一、二、四象限

D.

第一、三、四象限

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6. 根据分类变量

X

与

Y

的抽样数据, 计算得到

χ^{2} = 3.452

依据

α = 0.1

的独立性检验

(x_{0.1} = 2.706)

则下面说法正确的是

A.

变量

X

与

Y

不独立, 该推断犯错误的概率不超过 0.1

B.

变量

X

与

Y

不独立, 该推断犯错误的概率不低于 0.1

C.

变量

X

与

Y

独立, 该推断犯错误的概率不超过 0.1

D.

变量

X

与

Y

独立, 该推断犯错误的概率不低于 0.1

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7. 甲、乙、丙、丁四个城市准备竞争新能源汽车、半导体、通信设备、风电设备、石油冶炼这五个项目, 每个城市至少能竞得一个项目. 每个项目有且只有一个城市竞得, 则丁城市既没有竞得风电设备项目, 又没有竞得石油冶炼项目的概率为

A.

\frac{1}{3}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{21}{40}

D.

\frac{7}{8}

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8. 设随机变量

X \sim H (10, M, 1000)

(

2 \leq M \leq 992

且

M \in N^{*})

H (2; 10, M, 1000)

最大时,

E (X) =

A.

1.98

B.

1.99

C.

2.00

D.

2.01

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9. 已知

a > 0, b > 0, c > 0

, 且

a, b, c

成等差数列, 随机变量

X

的分布列为

下列选项正确的是

A.

b = \frac{1}{4}

B.

a + c = \frac{2}{3}

C.

\frac{4}{3} < E (X) < \frac{8}{3}

D.

D (X)

的最大值为

\frac{2}{3}

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二、多选题（共 2 题），每题有多个选项正确

10. 已知

f (x) = (2 x - 3)^{n} (n \in N^{*})

展开式的二项式系数和为 512 ,

f (x) = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + \dots + a_{n} (x - 1)^{n}

, 下列选项正确的是

A.

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 1

B.

a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = 18

C.

a_{2} = 144

D.

| a_{0} | + | a_{1} | + \dots + | a_{n} | = 3^{9}

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11. 已知函数

f (x)

与其导函数

f^{'} (x)

的定义域均为

R

, 且

f (x) - x

与

f^{'} (1 - 2 x)

均为偶函数, 则

A.

f (x + 1)

为偶函数

B.

\frac{f (x)}{x} - 1 (x \neq 0)

为奇函数

C.

f^{'} (x + 2) + f^{'} (x) = 2

D.

f^{'} (0) = 0

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三、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

12.

(2 x^{2} + 1) {(x - \frac{1}{x})}^{6}

的展开式中的常数项为

. (请用数字作答)

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13.

e^{2 x} + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2} x

在

x = 0

处的切线的倾斜角为

α

, 则

\cos 2 α =

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14. 产品抽样检查中经常遇到一类实际问题, 假定在

N

件产品中有

M

件不合格品, 在产品中随机抽

n

件做检查, 发现

k

件不合格品的概率为

P (X = k) = \frac{C_{M}^{k} C_{N - M}^{n - k}}{C_{N}^{n}}, k = t, t + 1, \dots, s

, 其中

s

是

M

与

n

中的较小者,

t

在

n

不大于合格品数（即

n \leq N - M

)时取 0 , 否则

t

取

n

与合格品数之差, 即

t = n - (N - M)

. 根据以上定义及分布列性质, 请计算当

N = 16, M = 8

时,

C_{8}^{0} C_{8}^{4} + C_{8}^{1} C_{8}^{3} + C_{8}^{2} C_{8}^{2} + C_{8}^{3} C_{8}^{1} + C_{8}^{4} C_{8}^{0} =

：若

N = 2 n, M = n

, 请计算

C_{n}^{0} C_{n}^{1} + C_{n}^{1} C_{n}^{2} + C_{n}^{2} C_{n}^{3} + \dots + C_{n}^{n - 2} C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 1} C_{n}^{n} =

. (两空均用组合数表示)

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四、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 已知数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}, S_{n} = \frac{5}{2} n^{2} - \frac{1}{2} n (n \in N^{*})

.
(1) 求

{a_{n}}

的通项公式;
(2) 若

b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}

, 求数列

{b_{n}}

的前

n

项和

T_{n}

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16. 已知函数

f (x) = x^{2} e^{x}

.
(1) 求函数

f (x)

的单调区间.
(2) 若对

\forall x \in [- 1, 2], f (x) - m > 0

恒成立, 求实数

m

的取值范围.

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17. 中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从 2015 年在贵阳开办, 至今已过 9 年.某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况, 在贵阳市随机抽取了 1000 名市民进行问卷调查, 问卷调查的成绩

ξ

近似服从正态分布

N (77, σ^{2})

, 且

P (77 \leq ξ \leq 80) = 0.3 .

(1) 估计抽取市民中问卷成绩在 80 分以上的市民人数;
(2) 若本次问卷调查得分超过 80 分, 则认为该市民对“数博会”的关注度较高, 现从贵阳市随机抽取 3 名市民, 记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量

X

, 求

X

的分布列和数学期望.

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18. 近年来, 共享单车进驻城市, 绿色出行引领时尚. 某公司计划对未开通共享单车的

A

县城进行车辆投放, 为了确定车辆投放量, 对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计, 得到了投放量

x

(单位; 千辆) 与年使用人次

y

(单位: 千次) 的数据如下表所示, 根据数据绘制投放量

x

与年使用人次

y

的散点图如图所示.

拟用模型(1)

y = 28.32 x - 48.28

或模型(2)

y = 10^{c + d x}

对两个变量的关系进行拟合, 令

t = \lg y

, 可得

\sum_{i = 1}^{7} y_{1} = 455, \sum_{i = 1}^{7} t_{i} = 11.06, \sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} = 140, \sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 2613, \sum_{i = 1}^{7} x_{i} t_{i} = 51.04

, 变量

y

与

t

的标准差分别为

s_{y} = 62.23, s_{t} = 0.494

.
（1）根据所给的统计量, 求模型(2) 中

y

关于

x

的回归方程;（结果保留小数点后两位）
(2) 计算并比较两种模型的相关系数

r

(结果保留小数点后三位), 求哪种模型预测值精度更高、更可靠;
（3）已知每辆单车的购入成本为 200 元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次 0.2 元, 按用户每使用一次, 收费 1 元计算, 若投入 8000 辆单车, 利用 (2) 中更可靠的模型, 预测几年后开始实现盈利. (结果保留整数)

附, 样本点

(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)

的线性回归方程

\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x

最小二乘估计公式为

\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \overset{―}{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}

\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}

, 相关系数

r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \overset{―}{x y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2}}}

参考数据:

10^{2.54} \approx 347

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19. 已知集合

A

中含有三个元素

x, y, z

, 同时满足 ①

x < y < z

; ②

x + y > z

; ③

x + y + z

为偶数, 那么称集合

A

具有性质

P

. 已知集合

S_{n} = {1, 2, 3, \dots, 2 n} (n \in N^{*}, n \geq 4)

, 对于集合

S_{n}

的非空子集

B

, 若

S_{n}

中存在三个互不相同的元素

a, b, c

, 使得

a + b, b + c, c + a

均属于

B

, 则称集合

B

是集合

S_{n}

的“期待子集”.
(1) 试判断集合

A = {1, 2, 3, 5, 7, 9}

是否具有性质

P

, 并说明理由;
(2) 若集合

B = {3, 4, a}

具有性质

P

, 证明: 集合

B

是集合

S_{4}

的“期待子集”;
(3) 证明：集合

M

具有性质

P

的充要条件是集合

M

是集合

S_{n}

的“期待子集”.

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