题号:14448    题型:解答题    来源:2023-2024 学年高二数学下学期期末模拟卷(新题型)
已知集合 $\mathrm{A}$ 中含有三个元素 $x, y, z$, 同时满足 ① $x < y < z$; ② $x+y>z$; ③ $x+y+z$ 为偶数, 那么称集合 $\mathrm{A}$ 具有性质 $P$. 已知集合 $S_n=\{1,2,3, \cdots, 2 n\}\left(n \in \mathrm{N}^*, n \geq 4\right)$, 对于集合 $S_n$ 的非空子集 $B$, 若 $S_n$ 中存在三个互不相同的元素 $a, b, c$, 使得 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}, \boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}$ 均属于 $B$, 则称集合 $B$是集合 $S_n$ 的“期待子集”.
(1) 试判断集合 $A=\{1,2,3,5,7,9\}$ 是否具有性质 $P$, 并说明理由;
(2) 若集合 $B=\{3,4, a\}$ 具有性质 $P$, 证明: 集合 $B$ 是集合 $S_4$ 的“期待子集”;
(3) 证明:集合 $M$ 具有性质 $P$ 的充要条件是集合 $M$ 是集合 $S_n$ 的“期待子集”.
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