题号:14447    题型:解答题    来源:2023-2024 学年高二数学下学期期末模拟卷(新题型)
近年来, 共享单车进驻城市, 绿色出行引领时尚. 某公司计划对未开通共享单车的 $A$ 县城进行车辆投放, 为了确定车辆投放量, 对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计, 得到了投放量 $x$ (单位; 千辆) 与年使用人次 $y$ (单位: 千次) 的数据如下表所示, 根据数据绘制投放量 $x$ 与年使用人次 $y$ 的散点图如图所示.

拟用模型(1) $y=28.32 x-48.28$ 或模型(2) $y=10^{c+d x}$ 对两个变量的关系进行拟合, 令 $t=\lg y$, 可得 $\sum_{i=1}^7 y_1=455, \sum_{i=1}^7 t_i=11.06, \sum_{i=1}^7 x_i^2=140, \sum_{i=1}^7 x_i y_i=2613, \sum_{i=1}^7 x_i t_i=51.04$, 变量 $y$ 与 $t$ 的标准差分别为 $s_y=62.23, s_t=0.494$.
(1)根据所给的统计量, 求模型(2) 中 $y$ 关于 $x$ 的回归方程;(结果保留小数点后两位)
(2) 计算并比较两种模型的相关系数 $r$ (结果保留小数点后三位), 求哪种模型预测值精度更高、更可靠;
(3)已知每辆单车的购入成本为 200 元,年调度费以及维修等的使用成本为每人次 0.2 元, 按用户每使用一次, 收费 1 元计算, 若投入 8000 辆单车, 利用 (2) 中更可靠的模型, 预测几年后开始实现盈利. (结果保留整数)

附, 样本点 $\left(x_i, y_i\right)(i=1,2, \cdots, n)$ 的线性回归方程 $\hat{y}=\hat{a}+\hat{b} x$ 最小二乘估计公式为 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i-n \overline{x y}}{\sum_{i=1}^n x_i^2-n \bar{x}^2}$, $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$, 相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i-n \overline{x y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2-n \bar{x}^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2-n \bar{y}^2}}$参考数据: $10^{2.54} \approx 347$.
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