解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别是角 $A 、 B 、 C$ 的对边, 且 $a^2+b^2$ $=c^2+\sqrt{2} a b$.
(1) 求 $C$;
(2) 若 $\frac{\tan B}{\tan C}=\frac{2 a-c}{c}$, 求 $A$.
数轴 $x, y$ 的交点为 $O$, 夹角为 $\theta$, 与 $x$ 轴、 $y$ 轴正向同向的单位向量分别是 $\overrightarrow{\mathrm{e}}_1, \overrightarrow{\mathrm{e}_2}$. 由平面向量基本定理, 对于平面内的任一向量 $\overrightarrow{O P}$,存在唯一的有序实数对 $(x, y)$, 使得 $\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{\mathrm{e}_1}+y \overrightarrow{\mathrm{e}_2}$, 我们把 $(x, y)$ 叫做点 $P$在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标 (以下各点的坐标都指在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标).
(1) 若 $\theta=90^{\circ}, \overrightarrow{O P}$ 为单位向量, 且 $\overrightarrow{O P}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{e}}_1$ 夹角为 $120^{\circ}$, 求点 $P$ 的坐标;
(2) 若 $\theta=45^{\circ}$, 点 $P$ 的坐标为 $(1, \sqrt{2})$, 求向量 $\overrightarrow{O P}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{e}}_1$ 的夹角的余弦值.
如图所示, 在四棱椎 $P-A B C D$ 中, $B C / /$ 平面 $P A D, B C$ $=\frac{1}{2} A D, E$ 是 $P D$ 的中点.
(1) 求证: $B C / / A D$;
(2) 若 $M$ 是线段 $C E$ 上一动点, 则线段 $A D$ 上是否存在点 $N$, 使 $M N / /$ 平面 $P A B $ ？ 说明理由.
数学史上著名的波尔约 - 格维也纳定理:任意两个面积相等的多边形, 它们可以通过相互拼接得到. 它由法卡斯・波尔约 (FarksBolyai) 和保罗・格维也纳 (PaulGerwien) 两位数学家分别在 1833 年和 1835 年给出证明. 现在我们来尝试用平面图形拼接空间图形, 使它们的全面积都与原平面图形的面积相等: (1) 给出两块相同的正三角形纸片 (如图 1、图 2), 其中图 1, 沿正三角形三边中点连线折起, 可拼得一个正三棱椎; 图 2, 正三角形三个角上剪出三个相同的四边形 (阴影部分), 其较长的一组邻边边长为三角形边长的 $\frac{1}{4}$, 有一组对角为直角, 余下部分按虚线折起, 可成一个缺上底的正三棱柱, 而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱椎的上底.
(1) 试比较图 1 与图 2 剪拼的正三棱椎与正三棱柱的体积的大小;
(2) 如果给出的是一块任意三角形的纸片 (如图 3), 要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等. 请仿照图 2 设计剪拼方案, 用虚线标示在图 3 中, 并作简要说明.
已知复数 $z$ 满足 $z \cdot \bar{z}=2$, 且 $z$ 的虚部为 $-1, z$ 在复平面内所对应的点在第四象限.
(1) 求 $z$;
(2) 若 $z, z^2$ 在复平面上对应的点分别为 $A, B, O$ 为坐标原点, $\angle O A B$.
如图, 已知 $P$ 是平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点, $M 、$ $N$ 分别是 $A B 、 P C$ 的三等分点 $(M$ 靠近 $B, N$ 靠近 $C)$;
(1) 求证: $M N / /$ 平面 $P A D$.
(2) 在 $P B$ 上确定一点 $Q$, 使平面 $M N Q / /$ 平面 $P A D$.
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=\frac{\pi}{3}, D$ 为 $A B$ 中点, $P$ 为 $C D$上一点, 且满足 $\overrightarrow{A P}=t \overrightarrow{A C}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}, \triangle A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$,
(1) 求 $t$ 的值;
(2) 求 $|\overrightarrow{A P}|$ 的最小值.
$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $b=$ $2 c \sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)$.
(1) 求 $C$;
(2) 若 $c=1, D$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆上的点, $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B A}^2$, 求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.
如图, 已知四棱椎 $P-A B C D$ 的底面为菱形, 且 $\angle A B C=$ $60^{\circ}, A B=2, P A=P B=\sqrt{2} . \quad M$ 是棱 $P D$ 上的点, $O$ 是棱 $A B$ 的中点, $P O$为四棱椎 $P-A B C D$ 的高, 且四面体 $M P B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$.
(1) 证明: $P M=M D$;
(2) 若过点 $C, M$ 的平面 $\alpha$ 与 $B D$ 平行, 且交 $P A$ 于点 $Q$, 求多面体 $D M C-A Q B$ 体积.
如图 1，某景区是一个以 C 为圆心，半径为 3km 的圆形区域，道路 l1，l2 成 60° 角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道 $AB$，点 $A，B$ 分别在 $l_1$和 $l_2$上，修建的木栈道 $AB$ 与道路$ l_1，l_2$围成三角地块 $OAB$． (注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等)．
(1) 当 $\triangle O A B$ 为正三角形时求修建的木栈道 $A B$ 与道路 $l_1, l_2$ 围成的三角地块 $O A B$ 面积；
(2) 若 $\triangle O A B$ 的面积 $S=10 \sqrt{3}$, 求木栈道 $A B$ 长;
(3) 如图 2, 设 $\angle C A B=\alpha$,
①将木栈道 $A B$ 的长度表示为 $\alpha$ 的函数, 并指定定义域;
②求木栈道 $A B$ 的最小值.
