高一下期中考试真题卷汇编

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高一下期中考试真题卷汇编

一、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 在

△ A B C

中,

a, b, c

分别是角

A 、 B 、 C

的对边, 且

a^{2} + b^{2}

= c^{2} + \sqrt{2} a b

.
(1) 求

C

;
(2) 若

\frac{\tan B}{\tan C} = \frac{2 a - c}{c}

, 求

A

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2. 数轴

x, y

的交点为

O

, 夹角为

θ

, 与

x

轴、

y

轴正向同向的单位向量分别是

{\vec{e}}_{1}, \vec{e_{2}}

. 由平面向量基本定理, 对于平面内的任一向量

\vec{O P}

,存在唯一的有序实数对

(x, y)

, 使得

\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}

, 我们把

(x, y)

叫做点

P

在斜坐标系

x O y

中的坐标 (以下各点的坐标都指在斜坐标系

x O y

中的坐标).
(1) 若

θ = 90^{\circ}, \vec{O P}

为单位向量, 且

\vec{O P}

与

{\vec{e}}_{1}

夹角为

120^{\circ}

, 求点

P

的坐标;
(2) 若

θ = 45^{\circ}

, 点

P

的坐标为

(1, \sqrt{2})

, 求向量

\vec{O P}

与

{\vec{e}}_{1}

的夹角的余弦值.

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3. 如图所示, 在四棱椎

P - A B C D

中,

B C / /

平面

P A D, B C

= \frac{1}{2} A D, E

是

P D

的中点.
(1) 求证:

B C / / A D

;
(2) 若

M

是线段

C E

上一动点, 则线段

A D

上是否存在点

N

, 使

M N / /

平面

P A B

？说明理由.

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4. 数学史上著名的波尔约 - 格维也纳定理:任意两个面积相等的多边形, 它们可以通过相互拼接得到. 它由法卡斯・波尔约 (FarksBolyai) 和保罗・格维也纳 (PaulGerwien) 两位数学家分别在 1833 年和 1835 年给出证明. 现在我们来尝试用平面图形拼接空间图形, 使它们的全面积都与原平面图形的面积相等: (1) 给出两块相同的正三角形纸片 (如图 1、图 2), 其中图 1, 沿正三角形三边中点连线折起, 可拼得一个正三棱椎; 图 2, 正三角形三个角上剪出三个相同的四边形 (阴影部分), 其较长的一组邻边边长为三角形边长的

\frac{1}{4}

, 有一组对角为直角, 余下部分按虚线折起, 可成一个缺上底的正三棱柱, 而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱椎的上底.

(1) 试比较图 1 与图 2 剪拼的正三棱椎与正三棱柱的体积的大小;
(2) 如果给出的是一块任意三角形的纸片 (如图 3), 要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等. 请仿照图 2 设计剪拼方案, 用虚线标示在图 3 中, 并作简要说明.

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5. 已知复数

z

满足

z \cdot \bar{z} = 2

, 且

z

的虚部为

- 1, z

在复平面内所对应的点在第四象限.
(1) 求

z

;
(2) 若

z, z^{2}

在复平面上对应的点分别为

A, B, O

为坐标原点,

∠ O A B

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6. 如图, 已知

P

是平行四边形

A B C D

所在平面外一点,

M 、

N

分别是

A B 、 P C

的三等分点

(M

靠近

B, N

靠近

C)

;
(1) 求证:

M N / /

平面

P A D

.
(2) 在

P B

上确定一点

Q

, 使平面

M N Q / /

平面

P A D

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7. 如图, 在

△ A B C

中,

∠ B A C = \frac{π}{3}, D

为

A B

中点,

P

为

C D

上一点, 且满足

\vec{A P} = t \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A B}, △ A B C

的面积为

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

,
(1) 求

t

的值;
(2) 求

| \vec{A P} |

的最小值.

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△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 且

b =

2 c \sin (A + \frac{π}{6})

.
(1) 求

C

;
(2) 若

c = 1, D

为

△ A B C

的外接圆上的点,

\vec{B A} \cdot \vec{B D} = {\vec{B A}}^{2}

, 求四边形

A B C D

面积的最大值.

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9. 如图, 已知四棱椎

P - A B C D

的底面为菱形, 且

∠ A B C =

60^{\circ}, A B = 2, P A = P B = \sqrt{2} . M

是棱

P D

上的点,

O

是棱

A B

的中点,

P O

为四棱椎

P - A B C D

的高, 且四面体

M P B C

的体积为

\frac{\sqrt{3}}{6}

.
(1) 证明:

P M = M D

;
(2) 若过点

C, M

的平面

α

与

B D

平行, 且交

P A

于点

Q

, 求多面体

D M C - A Q B

体积.

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10. 如图 1，某景区是一个以 C 为圆心，半径为 3km 的圆形区域，道路 l1，l2 成 60° 角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道

A B

，点

A ， B

分别在

l_{1}

和

l_{2}

上，修建的木栈道

A B

与道路

l_{1} ， l_{2}

围成三角地块

O A B

． (注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等)．
(1) 当

△ O A B

为正三角形时求修建的木栈道

A B

与道路

l_{1}, l_{2}

围成的三角地块

O A B

面积；
(2) 若

△ O A B

的面积

S = 10 \sqrt{3}

, 求木栈道

A B

长;
(3) 如图 2, 设

∠ C A B = α

,
①将木栈道

A B

的长度表示为

α

的函数, 并指定定义域;
②求木栈道

A B

的最小值.

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