如图 1，某景区是一个以 C 为圆心，半径为 3km 的圆形区域，道路 l1，l2 成 60° 角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道 $AB$，点 $A，B$ 分别在 $l_1$和 $l_2$上，修建的木栈道 $AB$ 与道路$ l_1，l_2$围成三角地块 $OAB$． (注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等)．
(1) 当 $\triangle O A B$ 为正三角形时求修建的木栈道 $A B$ 与道路 $l_1, l_2$ 围成的三角地块 $O A B$ 面积；
(2) 若 $\triangle O A B$ 的面积 $S=10 \sqrt{3}$, 求木栈道 $A B$ 长;
(3) 如图 2, 设 $\angle C A B=\alpha$,
①将木栈道 $A B$ 的长度表示为 $\alpha$ 的函数, 并指定定义域;
②求木栈道 $A B$ 的最小值.