2022年北京市海淀区八年级上学期期末试题

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2022年北京市海淀区八年级上学期期末试题

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 在平面直角坐标系

x O y

中, 已知点

A (3, 1)

, 则点

A

关于

y

轴的对称点的坐标是

A.

(1, 3)

B.

(- 3, 1)

C.

(3, - 1)

D.

(- 3, - 1)

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2. 数学中有许多精美的曲线, 以下是 “笛卡尔叶形线” “阿基米德螺线” “三叶玫瑰线” 和 “星形线". 其中一定不是轴对称图形的是

A.

B.

C.

D.

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3. 地球是人与自然共同生存的家园, 在这个家园中, 还住着许多常常被人们忽略的微小生命. 在冰岛海岸的黄铁矿粘液池中的古菌身上, 科学家发现了基因片段, 并提取出了最小的生命体, 它的直径仅为

0.0000002

米. 将数字

0.0000002

用科学记数法表示为

A.

2 \times 10^{- 7}

B.

2 \times 10^{- 8}

C.

2 \times 10^{- 9}

D.

20 \times 10^{- 8}

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4. 在下列运算中, 正确的是

A.

a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}

B.

(3 a)^{2} = 6 a^{2}

C.

{(a^{2})}^{3} = a^{5}

D.

a^{3} \div a^{2} = a

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5. 下列式子从左到右变形正确的是

A.

\frac{m^{2}}{n^{2}} = \frac{m}{n}

B.

\frac{m}{- n} = - \frac{m}{n}

C.

\frac{m + 1}{n} = \frac{m}{n} + 1

D.

\frac{n + 5}{n + 1} = 5

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6. 将一副直角三角板按如图所示的位置摆放, 若

D E / / A C

, 则图中

∠ 1

的度数是

A.

60^{\circ}

B.

75^{\circ}

C.

90^{\circ}

D.

105^{\circ}

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7. 如图, 四个等腰直角三角形拼成一个正方形, 则阴影部分的面积为

A.

a^{2} + b^{2}

B.

a^{2} - b^{2}

C.

2 a b

D.

4 a b

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8. 对于分式

\frac{x - n}{x - m} (m, n

为常数

)

, 若当

x ⩾ 0

时, 该分式总有意义; 当

x = 0

时, 该分式的值为负数. 则

m, n

与 0 的大小关系正确的是

A.

m < 0 < n

B.

0 < m < n

C.

n < 0 < m

D.

0 < n < m

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 分解因式:

a b^{2} - 9 a =

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10. 如果等腰三角形的两边长分别是

2 cm

和

6 cm

, 则该等腰三角形周长是

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11. 当

x =

时, 分式

\frac{2 x - 4}{x - 3}

的值为 0 .

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12. 如图, 点

P

在正五边形的边

B C

上运动 (不与点

B, C

重合), 若

∠ B A P = x^{\circ}

, 则

x

的取值范围是

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13. 如图, 在

△ A B C

中,

∠ A = 30^{\circ}, A B = B C

, 点

D, E

分别在边

A B, A C

上, 若沿直线

D E

折叠, 点

A

恰好与点

B

重合, 且

C E = 6

, 则

∠ E B C =

A C =

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14. 甲乙两位同学进行一种数学游戏. 游戏规则是：两人轮流对

△ A B C

及

△ A^{'} B^{'} C^{'}

对应的边或角添加等量条件 (点

A^{'}, B^{'}, C^{'}

分别是点

A, B, C

的对应点). 某轮添加条件后, 若能判定

△ A B C

与

△ A^{'} B^{'} C^{'}

全等, 则当轮添加条件者失败, 另一人获胜.

上表记录了两人游戏的部分过程, 则下列说法正确的是 (塤写所有正确结论的序号 ).
(1) 若第 3 轮甲添加

A C = A^{'} C^{'} = 5 cm

, 则乙获胜;
(2) 若甲想获胜, 第 3 轮可以添加条件

∠ C = ∠ C^{'} = 30^{\circ}

;
(3) 若乙想获胜, 可修改第 2 轮添加条件为

∠ A = ∠ A^{'} = 90^{\circ}

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三、解答题（共 12 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 计算:

(- 1)^{2} + 2^{- 2} - (2023 - π)^{0}

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16. 计算:

x (x + 4 y) - 2 x \cdot 3 y

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17. 化简:

\frac{3 x^{2} + 6 x}{x^{2} - 4} \div (\frac{x + 1}{x - 2} - 1)

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18. 如图, 两车从路段

A B

的两端同时出发, 沿平行路线以相同的速度行驶, 相同时间后分别到达

C, D

两地.

C, D

两地到路段

A B

的距离相等吗？为什么?

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19. 已知

a^{2} - 2 a - 1 = 0

, 求代数式

(2 a + 1) (2 a - 1) + (a - 5)^{2}

的值.

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20. 如图, 已知线段

A B

与直线

C D

平行.
(1) 作

∠ C A B

的角平分线

A E

交直线

C D

于点

E

( 尺规作图, 保留作图痕迹, 不写作法);
(2) 在 (1) 的条件下, 若

A E

的中点为

F

, 连接

B F

并延长交直线

C D

于点

G

, 请用等式表示线段

A B, A C, C G

之间的数量关系:

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21. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效. 某科技公司生产了一批新型搬运机器人, 打出了如下的宣传:

根据该宣传, 求新型机器人每天搬运的货物量.

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22. 我们知道, 代数式的运算和多项式因式分解都属于不改变代数式值的恒等变形. 探究下列关于

x

的代数式, 并解决问题.
(1) 若计算

x (x + a)

的结果为

x^{2} + 7 x

, 则

a =

(2) 若多项式

x^{2} + b x - 3

分解因式的结果为

(x + 3) (x - c)

, 则

c =

b =

(3) 若计算

(d x + 1) (x - d)

的结果为

d x^{2} + m x - 2

, 求

m

的值.

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23. 在平面直角坐标系

x O y

中, 横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 如图, 点

A, B, C

的坐标分别为

(2, 5), (1, 2), (5, 4), A B = A C

.
(1)

∠ B A C =

(2) 若点

D

为整点, 且满足

△ A B D ≅ △ A C D

, 直接写出点

D

的坐标 (写出两个即可).

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24. 已知

A = x + y, B = x^{2} - y^{2}, C = x^{2} - 2 x y + y^{2}

.
(1) 若

\frac{A}{B} = \frac{1}{5}

, 求

C

的值;
(2) 在 (1) 的条件下, 且

\frac{2 B + C}{B}

为整数, 求

x

的值.

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25. 已知在

△ A B C

中,

A B = A C

, 且

∠ B A C = α

. 作

△ A C D

, 使得

A C = C D

.
(1) 如图 1, 若

∠ A C D

与

∠ B A C

互余, 则

∠ D C B =

(用含

α

的代数式表示 );
(2) 如图 2, 若

∠ A C D

与

∠ B A C

互补, 过点

C

作

C H ⊥ A D

于点

H

, 求证:

C H = \frac{1}{2} B C

;
(3) 若

△ A B C

与

△ A C D

的面积相等, 则

∠ A C D

与

∠ B A C

满足什么关系? 请直接写出你的结论.

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26. 在平面直角坐标系

x O y

中, 点

P, Q

分别在线段

O A, O B

上, 如果存在点

M

使得

M P = M Q

且

∠ M P Q = ∠ A O B

(点

M, P, Q

逆时针排列), 则称点

M

是线段

P Q

的 “关联点” . 如图 1, 点

M

是线段

P Q

的 “关联点”。
(1) 如图 2, 已知点

A (4, 4), B (8, 0)

, 点

P

与点

A

重合.
① 当点

Q

是线段

O B

中点时, 在

M_{1} (4, 2), M_{2} (6, 2)

中, 其中是线段

P Q

的 “关联点” 的是
② 已知点

M (8, 4)

是线段

P Q

的 “关联点”, 则点

Q

的坐标是

(2) 如图 3, 已知

O A = O B = 4, ∠ A O B = 60^{\circ}

.
①当点

P

与点

A

重合, 点

Q

在线段

O B

上运动时 (点

Q

不与点

O

重合), 若点

M

是线段

P Q

的 “关联点”, 求证:

B M / / O A

;
②当点

P, Q

分別在线段

O A, O B

上运动时, 直接写出线段

P Q

的 “关联点”

M

形成的区域的周长.

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