设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a\end{array}\right)$, 且 $|\boldsymbol{A}|=-1$. 又设 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 有特征值 $\lambda_0$, 属于 $\lambda_0$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}$, 求 $a, b, c$ 及 $\lambda_0$ 的值.

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$.
(I) 求 $\boldsymbol{A}^{99}$.
(II) 设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 满足 $\boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$. 记 $\boldsymbol{B}^{100}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)$, 将 $\boldsymbol{\beta}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$分别表示为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合.

设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵, $\boldsymbol{A}$ 的秋为 2 , 且
$$
\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right) .
$$
(I) 求 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值与特征向量;
(II) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$.

设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2+\left(x_1+a x_3\right)^2$, 其中 $a$ 是参数.
(I) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解;
(II) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形.