填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
复数 $\frac{(\sqrt{3}-i)^4}{(1+i)^2}$ 的模为 ________ , 辐角主值为 ________
满足 $|z-3| \leq \operatorname{Re}(z+1)$ 的点集所形成的平面图形为 ________ , 该图形是否为区域
________
$\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^{1+i}$ 的值为 ________ ， 主键为 ________
函数 $f(z)=x^2+2 i x y$ 在何处可导?
设 $f(z)=\oint_{|\xi|=2} \frac{3 \xi^2-2 \xi+1}{\xi-z} d \xi$, 则 $f(1)=$ ________ , $f^{\prime} (1+i)=$ ________
函数 $f(z)=\frac{1}{z^2+2 z-8}$ 在 $z=i$ 点展成泰勒级数的收敛半径为 ________
$z=0$ 为函数 $f(z)=\frac{1-e^{2 z}}{z^6}$ 的 ________ 阶极点; 在该点处的留数为 ________
函数 $f(t)=\sin ^2 t$ 的 Fourier 变换为
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\oint_{|z|=2} \frac{\mathrm{e}^z-1}{z^2(z-1)} \mathrm{d} z$
$\oint_{|z|=2} z^2\left(\sin \frac{1}{z}\right)^3 \mathrm{~d} z$
$\int_0^\pi \frac{\cos 4 \theta}{5-4 \cos \theta} d \theta$
$\int_0^{+\infty} \frac{x \sin 2 x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+4\right)} \mathrm{d} x$
已知 $v(x, y)=x^2+a y^2$, 求常数 $a$ 以及二元函数 $u(x, y)$, 使得 $f(z)=u+i v$ 为解析函数且满足条件 $f(0)=1$.
将函数 $f(z)=\frac{1}{z^2-2 z}$ 分别在点 $z=0$ 和 $z=2$ 展开为洛朗(Laurent)级数.
求区域 $D=\{z: 0 < \operatorname{Re} z < \pi, \operatorname{Im} z>0\}$
在映射 $w=\frac{e^{i z}+1}{e^{i z}-1}$ 下的像.
求将区域 $D=\{z:|z+i| < \sqrt{2}, \operatorname{Im} z>0\}$映射到单位圆内部的共形映射.
利用 Laplace 变换求解微分方程: $x^{\prime \prime}(t)+4 x^{\prime}(t)+3 x(t)=e^{-t}, x(0)=0, x^{\prime}(0)=1 .$
设函数 $f(z)$ 在区域 $|z| < R$ 内处处解析,$f(z)$ 在 $|z| < r(r < R)$ 内仅有 $z_0$ 一个三级零点,
证明: $\oint_{|z|=r} \frac{z^2 f^{\prime}(z)}{f(z)} \mathrm{d} z=6 \pi i z_0^2$.