单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵, 则下列错误的是
$\text{A.}$ $(A+B)^T=A^T+B^T$
$\text{B.}$ $(A B)^T=B^T A^T$
$\text{C.}$ $|A+B|=|A|+|B|$
$\text{D.}$ $|A B|=|B A|$.
以下说法正确的是
$\text{A.}$ 两个等价向量组的秩不一定相同
$\text{B.}$ 正交向量组一定线性无关
$\text{C.}$ 两个等价向量组所含向量个数一定相等
$\text{D.}$ 若 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关, 则 $\alpha_1$ 一定能由 $\alpha_2, \alpha_3$ 线性表示
设 $A$ 是 $n$ 阶不可逆方阵, 则以下错误的是
$\text{A.}$ $|A|=0$
$\text{B.}$ $A$ 的行向量组线性相关
$\text{C.}$ $r(A) < n$
$\text{D.}$ 方程组 $A x=0$ 只有零解
设 $\eta_1, \eta_2$ 是 3 元非齐次线性方程组 $A x=b$ 的两个不同解, 且 $r(A)=2$, 则方程组 $A x=b$ 的通解为
$\text{A.}$ $\eta_1+k \eta_2(k \in R)$
$\text{B.}$ $\eta_1+k\left(\eta_1-\eta_2\right)(k \in R)$
$\text{C.}$ $k\left(\eta_1-\eta_2\right)(k \in R)$
$\text{D.}$ $\eta_1+k\left(\eta_1+\eta_2\right)(k \in R)$
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似, 则下列错误的是
$\text{A.}$ $\operatorname{det} A \neq \operatorname{det} B$
$\text{B.}$ $A^m$ 与 $B^m$ 相似
$\text{C.}$ $r(A)=r(B)$
$\text{D.}$ $\operatorname{det} A=0$ 时, $\operatorname{det} B=0$
设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵, 则非齐次线性方程组 $A x=b$ 有解的充分必要条件为
$\text{A.}$ $R(A) < m$
$\text{B.}$ $R(A) < n$
$\text{C.}$ $R(A, b)=R(A)$
$\text{D.}$ $|A| \neq 0$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设方阵 $A$ 满足方程 $A^2-2 A-4 I=0$, 则 $(A-3 I)^{-1}=$
行列式 $\left|\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & 1\end{array}\right|$ 中第 1 行元素的代数余子式之和为
设 4 阶方阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$, 且 $|A|=3$, 方阵 $B=\left(\alpha_2, 2 \alpha_4, \alpha_3-3 \alpha_1, \alpha_1\right)$,
则 $|B|=$
若矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 2 & x & 2 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right)$ 与矩阵 $B=\left(\begin{array}{lll}0 & & \\ & 3 & \\ & & y\end{array}\right)$ 相似, 则 $x=$ $y=$
已知三阶方阵 $A$ 的三个特征值为 $0,1,2$, 则行列式 $\left|A^T+I\right|=$
已知二次型 $f=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2+2 k x_2 x_3$ 正定, 则 $k$ 的取值范围为
已知二阶方阵 $A$ 的特征值为 1 和 -1 , 对应的特征向量为 $\alpha_1=(1,1)^T$ 和 $\alpha_2=(0,1)^T$, 则 $A^{2017}=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 4 维向量组 $A: \alpha_1=(1,0,2,3)^T, \alpha_2=(1,1,3,5)^T \alpha_3=(1,2,4, a+6)^T$, $\alpha_4=(2,1, b+5,8)^T$ 的秩为 2 ,
(1) 求参数 $a, b$ 的值;
(2) 求 $A$ 的一个最大线性无关组, 并用最大线性无关组表示向量组其余向量.
设矩阵 $ A=\left(\begin{array}{rrr}
3 & 0 & -3 \\
1 & 2-2 \\
-1 & 1 & 3
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{rc}
1 & -1 \\
2 & 0 \\
-2 & 1
\end{array}\right) $ , $X$满足$AX=B+2X$, 求 $X$
用适当方法计算行列式 $ \mathrm{D}=\left|\begin{array}{cccc}
5 & 1 & 3 & -4 \\
1 & -1 & 1 & 2 \\
2 & 0 & 1 & -1 \\
1 & 3 & -2 & 3
\end{array}\right|
$
设非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=\lambda-3 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=-2 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=-2\end{array}\right.$, 求 $\lambda$ 为何值时方程组 (1) 无解; (2) 有唯一解; (3) 有无穷多解, 并求其通解.
设 $A=\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right)$, 写出 $A$ 对应的二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$, 并求一正交变换 $X=P Y$ 将二次型化为标准形.
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶正交矩阵, 证明 $A B$ 也为正交矩阵.
设 $\mathrm{n}$ 维列向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关， $A$ 为 $\mathrm{n}$ 阶方阵，证明: 向量组 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 线性相关。