已知直线 $L_1=\left\{\begin{array}{l}x+y+z-1=0 \\ x-2 y+2=0\end{array}, L_2=\left\{\begin{array}{l}x=2 t \\ y=t+a \\ z=b t+1\end{array}\right.\right.$, 试确定 $a, b$ 满足的条件使得 $L_1, L_2$ 是:
1. 平行直线;
2. 异面直线.

已知 $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{C}^3\right)$, 其对应矩阵为
$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
2023 & 0 & 0 \\
6 & 28 & 0
\end{array}\right)
$$
1. 求 $\mathbf{A}$ 的 Jordan 标准形（不必求 Jordan 基）;
2. 证明不存在复矩阵 $\mathbf{B}$ 使得 $\mathbf{B}^2=\mathbf{A}$.

定义在 $V=\mathbb{R}^3$ 上的运算
$
\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle_V=x_1 y_1+x_2 y_2+\left(x_2+x_3\right)\left(y_2+y_3\right)
$
其中 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right), \boldsymbol{y}=\left(y_1, y_2, y_3\right)$.
1. 验证 $\langle\cdot, \cdot\rangle_V$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上的一个内积;
2. 求 $\mathbb{R}^3$ 在 $\langle\cdot, \cdot\rangle_V$ 下的一组标准正交基;
3. 求 $\boldsymbol{\beta} \in V$ 使得 $\forall \boldsymbol{x} \in V: x_1+2 x_2=\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\beta}\rangle_V$.

$T \in \mathcal{L}(V)$ 在一组基 $\varepsilon=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\right)$ 下的矩阵为
$$
T(\varepsilon)=(\varepsilon)\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right)
$$
求 $V$ 所有的 $T$-不变子空间.

试给出下列命题的真伪. 若命题为真, 请给出简要证明; 若命题为假, 请举出反例.
1. $T \in \mathcal{L}(V)$. 若子空间 $W \in V$ 在 $T$ 下不变, 则其补空间 $W^{\prime}$ 在 $T$ 下也不变;
2. 定义 $T \in \mathcal{L}(V, W): T v=\langle v, \alpha\rangle \beta, \beta \in W$ 对 $\forall v \in V$ 成立, 则 $T^* w=\langle w, \beta\rangle \alpha, \alpha \in V$ 对 $\forall w \in W$成立;
3. $T \in \mathcal{L}(V)$ 是非幕零算子, 满足 $\operatorname{null} T^{n-1} \neq \operatorname{null} T^{n-2}$. 则其极小多项式为
$$
m(\lambda)=\lambda^{n-1}(\lambda-a) \quad 0 \neq a \in \mathbb{R}
$$
4. $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n} . \mathbf{S}_1=\mathbf{A}^{\mathrm{T}}+\mathbf{A}, \mathbf{S}_2=\mathbf{A}^{\mathrm{T}}-\mathbf{A}$. 则 $\mathbf{A}$ 是正规矩阵当且仅当 $\mathbf{S}_1 \mathbf{S}_2=\mathbf{S}_2 \mathbf{S}_1$.
5. $\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 是正规矩阵, 则 $\mathbf{A}$ 的实部矩阵和虚部矩阵是对称矩阵.

$T \in \mathcal{L}(V)$. 有极分解 $T=S \sqrt{G}$, 其中 $S$ 是等距同构, $G=T^* T$. 证明以下条件等价:
1. $T$ 是正规算子;
2. $G S=S G$;
3. $G$ 的所有特征空间 $E(\lambda, G)$ 都是 $S$-不变的.