单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设向量 $\vec{\alpha}, \vec{\beta}$ 满足条件 $|\vec{\alpha}+\vec{\beta}|=|\vec{\alpha}-\vec{\beta}|$ ，则 ．
$\text{A.}$ $\vec{\alpha}+\vec{\beta}=\overrightarrow{0}$
$\text{B.}$ $\vec{\alpha}-\vec{\beta}=\overrightarrow{0}$
$\text{C.}$ $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}=0$
$\text{D.}$ $\vec{\alpha} \times \vec{\beta}=\overrightarrow{0}$
与原点和点 $P_0(2,3,4)$ 的距离之比为 $1: 2$ 的点的全体所构成的曲面为
$\text{A.}$ 平面
$\text{B.}$ 球面
$\text{C.}$ 圆锥面
$\text{D.}$ 抛物面
方程 $x^2+\frac{1}{2} y^2-\frac{1}{3} z^2=-1$ 所表示的二次曲面是（ ）．
$\text{A.}$ 单叶双曲面
$\text{B.}$ 双叶双曲面
$\text{C.}$ 椭球面
$\text{D.}$ 双曲抛物面
设 $f\left(\frac{y}{x}, x+y\right)=x^2-y^2$ ，则 $f(x, y)=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{y^2(1-x)}{1+x}$
$\text{B.}$ $\frac{x^2(1-x)}{1+y}$
$\text{C.}$ $\frac{y^2(1-y)}{1+x}$
$\text{D.}$ $\frac{x^2(1-y)}{1+y}$
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 连续，且偏导数存在
$\text{B.}$ 连续，且偏导数不存在
$\text{C.}$ 不连续，且偏导数存在
$\text{D.}$ 不连续，且偏导数不存在
记 $I_k=\iint_{D_k}(y-x) d x d y$ ，其中 $D_k$ 是圆域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$ 在第 $k$ 象限
部分，这里 $k=1,2,3,4$ ，则 ．
$\text{A.}$ $I_1 < 0$
$\text{B.}$ $I_2 < 0$
$\text{C.}$ $I_3 < 0$
$\text{D.}$ $I_4 < 0$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设向量 $\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}$ 与 $7 \vec{\alpha}-5 \vec{\beta}$ 垂直，$\vec{\alpha}-4 \vec{\beta}$ 与 $7 \vec{\alpha}-2 \vec{\beta}$ 垂直，则向量 $\vec{\alpha}$ 与 $\vec{\beta}$的夹角为
以 $P_1(1,2,3), P_2(3,4,5), P_3(-1,-2,7)$ 为顶点的三角形的面积为
已知方程 $x^2-y^2-z^2=0$ 表示一张旋转曲面，则它的旋转轴的方程为
设连续二元函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)+x-2 y-2}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}=0$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,0)}=$
设二元函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z=2 x+e^{2 y-3 z}$ 所确定，则 $\frac{\partial z}{\partial x}+3 \frac{\partial z}{\partial y}=$
设平面点集 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$ ，则二重积分
$$
\iint_D\left(4 x^2-3 \sin x+2 y+1\right) d x d y=
$$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
用对称式方程和参数方程表示直线 $L:\left\{\begin{array}{c}9 x+8 y+5 z=1, \\ 2 x+y+z=5 .\end{array}\right.$
求过点 $P(-1,2,1)$ 且与直线 $L_1:\left\{\begin{array}{c}x+2 y-z+1=0 \\ x-y+z-1=0\end{array}\right.$ 和 $L_2:\left\{\begin{array}{c}2 x-y+1=0 \\ x-y+z=0\end{array}\right.$ 都平行的平面的方程．
设 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数．已知 $y=f\left(\cos x, e^x\right)$ ，求 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}$ 与 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{x=0}$.
设平面点集 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$ ，求二重积分 $\iint_D e^{\max \left\{x^2, y^2\right\}} d x d y$ ．
求空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x-y z-5=0 \\ x y z+6=0\end{array}\right.$ 在点 $(3,-2,1)$ 处的切线和法平面方程．
求二元函数 $z=x^4+y^4-x^2-y^2-2 x y$ 的极值．
设二次曲面 $x^2+\frac{1}{3} y^2+z=4$ 在点 $P_1(-1,-3,0)$ 处的法线为 $L_1$ ，空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t^2+2 t-5 \\ z=t^3-2 t^2+7 t+2\end{array}\right.$ 在 $t=0$ 处的切线为 $L_2$ ．
（1）证明：$L_1, L_2$ 是异面直线；
（2）求直线 $L_1, L_2$ 之间的距离．
求椭圆 $2 x^2+4 x y+5 y^2=1$ 的长轴与短轴的长度．