单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^2 y^2 e^{x^2+y} \ln (y+2)}{1-\cos x y}=$ ．
$\text{A.}$ $\ln 2$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} \ln 2$
$\text{C.}$ $2 \ln 2$
$\text{D.}$ 0
函数 $f(x, y)$ 在 $P(x, y)$ 点沿向量 $\vec{a}=(1,-1)$ 的方向导数为（ ）．
$\text{A.}$ $\sqrt{2}\left(f_x^{\prime}+f_y^{\prime}\right)$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}\left(f_x^{\prime}-f_y^{\prime}\right)$
$\text{C.}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(f_x^{\prime}+f_y^{\prime}\right)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(f_x^{\prime}-f_y^{\prime}\right)$
函数 $z=\ln \left(1+x^2+y^2\right)$ ，则 $\left.d z\right|_{x=1,y=2}= $
$\text{A.}$ $\frac{2}{3} d x+\frac{1}{3} d y$
$\text{B.}$ $d x+2 d y$
$\text{C.}$ $2 d x+d y$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3} d x+\frac{2}{3} d y$
已知曲面 $z=4-x^2-y^2$ 上点 $P$ 处的切平面平行于平面 $2 x+2 y+z-1=0$ ，则 $P$ 点的坐标是
$\text{A.}$ $(1,-1,2)$
$\text{B.}$ （ $-1,1,2$ ）
$\text{C.}$ $(1,1,2)$
$\text{D.}$ $(-1,-1,2)$
交换一次积分 $\int_1^e d x \int_0^{\ln x} f(x, y) d y= $ ．
$\text{A.}$ $\int_0^e d y \int_{e^y}^e f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d y \int_{e^y}^e f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^e d y \int_{e^y}^1 f(x, y) d x$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d y \int_e^{e^y} f(x, y) d x$
设 $D$ 是平面 $x o y$ 上以 $(1,1) 、(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域，$D_1$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_D(x y+\cos x \sin y) d x d y$ 等于
$\text{A.}$ $2 \iint_{D_1} \cos x \sin y d x d y$
$\text{B.}$ $2 \iint_{D_1} x y d x d y$
$\text{C.}$ $4 \iint_{D_1}(x y+\cos x \sin y) d x d y$
$\text{D.}$ 0
设有空间区域 $\Omega_1: x^2+y^2+z^2 \leq R^2, x \geq 0$ 及
$\Omega_2: x^2+y^2+z^2 \leq R^2, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$ ，则正确的是
$\text{A.}$ $\iiint_{\Omega_1} x y z d v=4 \iiint_{\Omega_2} x y z d v$ ；
$\text{B.}$ $\iiint_{\Omega_1} y d v=4 \iiint_{\Omega_2} y d v$ ；
$\text{C.}$ $\iiint_{\Omega_1} z d v=4 \iiint_{\Omega_2} z d v$ ；
$\text{D.}$ $\iiint_{\Omega_1} x d v=4 \iiint_{\Omega_2} z d v$ ．
设平面曲线 $L$ 为下半圆周 $y=-\sqrt{1-x^2}$ ，则曲线积分 $\int_L\left(x^2+y^2\right) d s= $
$\text{A.}$ $2 \pi$
$\text{B.}$ $ \pi$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=f(2 x-y, y \sin x)$ ，其中 $f(u, v)$ 具有连续的二阶偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
假设函数 $y=y(x), z=z(x)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{l}z=x^2+y^2 \\ x^2+2 y^2+3 z^2=20\end{array}\right.$ 所确定，求 $\frac{d y}{d x}, \frac{d z}{d x}$.
设 $D$ 是由曲线 $x=1$ 与直线 $y=x$ 及 $x$ 轴围成的封闭区域，求 $\iint_D e^{x^2} d x d y$
计算 $\iint_D\left|x^2+y^2-1\right| d x d y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$
计算三重积分 $\iiint_{\Omega}(x+z) d v$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 所围成区域
已知空间区域 $\Omega: z \geq \sqrt{x^2+y^2}, x^2+y^2+z^2 \leq R^2$
（1）．分别用直角坐标（先 $z$ ，次 $y$ ，后 $x$ ），柱面坐标，球面坐标表示三重积分 $\iiint_{\Omega}\left[z^2+x \sin (z+y)\right] d v ;$
（2）．选取一种坐标计算积分 $\iiint_{\Omega}\left[z^2+x \sin (z+y)\right] d v$ ．
计算曲线积分 $\oint_L e^{\sqrt{x^2+y^2}} d s$ ，其中 $L$ 是圆周 $x^2+y^2=R^2, x$ 轴，$y$ 轴在第一象限所围区域的边界。
设曲线积分 $\int_L x y^2 d x+y \varphi(x) d y$ 与路径无关，其中 $\varphi(x)$ 具有连续的导数，且 $\varphi(0)=0$ ，计算 $\int_{(0,0)}^{(1,1)} x y^2 d x+y \varphi(x) d y$