如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y=a x^2+b x$ 过点 $(-1,3)$ ，且对称轴为直线 $x=1$ ，直线 $y=k x-k$ 与抛物线交于 $A, B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当 $k=1$ 时，直线 $A B$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与直线 $x=2$ 交于点 $E$ ．若抛物线 $y=(x-h)^2-1$ 与线段 $D E$ 有公共点，求 $h$ 的取值范围；
（3）过点 $C$ 与 $A B$ 垂直的直线交抛物线于 $P, Q$ 两点，$M, N$ 分别是 $A B, P Q$ 的中点．试探究：当 $k$变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点 $T$ ，使得 $T C$ 总是平分 $\angle M T N$ ？若存在，求出点 $T$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴交于 $A, B(6,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴是直线 $x=\frac{5}{2}$ ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 $P$ 是射线 $B C$ 下方抛物线上的一动点，连接 $O P$ 与射线 $B C$ 交于点 $Q$ ，点 $D, E$ 为抛物线对称轴上的动点（点 $E$ 在点 $D$ 的下方），且 $D E=4$ ，连接 $B D, P E$ ．当 $\frac{P Q}{O Q}$ 取得最大值时，求点 $P$ 的坐标及 $B D+P E$的最小值；
（3）在（2）中 $\frac{P Q}{O Q}$ 取得最大值的条件下，将抛物线 $y=x^2+b x+c$ 沿射线 $B C$ 方向平移 $2 \sqrt{2}$ 个单位长度得到抛物线 $y^{\prime}$ ，点 $M$ 为点 $P$ 的对应点，点 $N$ 为抛物线 $y^{\prime}$ 上的一动点．若 $\angle N A B=\angle O P M-45^{\circ}$ ，请直接写出所有符合条件的点 $N$ 的坐标，并写出求解点 $N$ 的坐标的其中一种情况的过程．

如图 1，抛物线 $y=a\left(x+\frac{5}{2}\right)(x-4)(a \neq 0)$ 分别与 $x$ 轴，$y$ 轴交于 $A, B(0,-4)$ 两点，$M$ 为 $O A$ 的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接 $A B$ ，过点 $M$ 作 $O A$ 的垂线，交 $A B$ 于点 $C$ ，交抛物线于点 $D$ ，连接 $B D$ ，求 $\triangle B C D$ 的面积；
（3）点 $E$ 为线段 $A B$ 上一动点（点 $A$ 除外），将线段 $O E$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $O F$ ．
① 当 $A E=\sqrt{2}$ 时，请在图 2 中画出线段 $O F$ 后，求点 $F$ 的坐标，并判断点 $F$ 是否在抛物线上，说明理由；
② 如图 3，点 $P$ 是第四象限的一动点，$\angle O P A=90^{\circ}$ ，连接 $P F$ ，当点 $E$ 运动时，求 $P F$ 的最小值．

如图，二次函数 $y=-x^2+2 x+3$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，作直线 $B C, M\left(m, y_1\right), N\left(m+2, y_2\right)$ 为二次函数 $y=-x^2+2 x+3$ 图象上两点．
（1）求直线 $B C$ 对应函数的表达式；
（2）试判断是否存在实数 $m$ 使得 $y_1+2 y_2=10$ ．若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．
（3）已知 $P$ 是二次函数 $y=-x^2+2 x+3$ 图象上一点（不与点 $M, N$ 重合），且点 $P$ 的横坐标为 $1-m$ ，作 $\triangle M N P$ ．若直线 $B C$ 与线段 $M N, M P$ 分别交于点 $D, E$ ，且 $\triangle M D E$ 与 $\triangle M N P$ 的面积的比为 $1: 4$ ，请直接写出所有满足条件的 $m$ 的值．

如图，抛物线 $y=a x^2+b x+3$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C, O A=2, O B=6, D$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上一动点，作 $D F \perp A B$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，垂足为点 $F$ ，连接 $C D$ ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点 $D$ 的横坐标为 $t$ ，
① 用含有 $t$ 的代数式表示线段 $D E$ 的长度；
② 是否存在点 $D$ ，使 $\triangle C D E$ 是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接 $O E$ ，将线段 $O E$ 绕点 $O$ 按顺时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得到线段 $O G$ ，连接 $A G$ ，请直接写出线段 $A G$ 长度的最小值．