如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴交于 $A, B(6,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴是直线 $x=\frac{5}{2}$ ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 $P$ 是射线 $B C$ 下方抛物线上的一动点，连接 $O P$ 与射线 $B C$ 交于点 $Q$ ，点 $D, E$ 为抛物线对称轴上的动点（点 $E$ 在点 $D$ 的下方），且 $D E=4$ ，连接 $B D, P E$ ．当 $\frac{P Q}{O Q}$ 取得最大值时，求点 $P$ 的坐标及 $B D+P E$的最小值；
（3）在（2）中 $\frac{P Q}{O Q}$ 取得最大值的条件下，将抛物线 $y=x^2+b x+c$ 沿射线 $B C$ 方向平移 $2 \sqrt{2}$ 个单位长度得到抛物线 $y^{\prime}$ ，点 $M$ 为点 $P$ 的对应点，点 $N$ 为抛物线 $y^{\prime}$ 上的一动点．若 $\angle N A B=\angle O P M-45^{\circ}$ ，请直接写出所有符合条件的点 $N$ 的坐标，并写出求解点 $N$ 的坐标的其中一种情况的过程．