如图 1，抛物线 $y=a\left(x+\frac{5}{2}\right)(x-4)(a \neq 0)$ 分别与 $x$ 轴，$y$ 轴交于 $A, B(0,-4)$ 两点，$M$ 为 $O A$ 的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接 $A B$ ，过点 $M$ 作 $O A$ 的垂线，交 $A B$ 于点 $C$ ，交抛物线于点 $D$ ，连接 $B D$ ，求 $\triangle B C D$ 的面积；
（3）点 $E$ 为线段 $A B$ 上一动点（点 $A$ 除外），将线段 $O E$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $O F$ ．
① 当 $A E=\sqrt{2}$ 时，请在图 2 中画出线段 $O F$ 后，求点 $F$ 的坐标，并判断点 $F$ 是否在抛物线上，说明理由；
② 如图 3，点 $P$ 是第四象限的一动点，$\angle O P A=90^{\circ}$ ，连接 $P F$ ，当点 $E$ 运动时，求 $P F$ 的最小值．