如图，二次函数 $y=-x^2+2 x+3$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，作直线 $B C, M\left(m, y_1\right), N\left(m+2, y_2\right)$ 为二次函数 $y=-x^2+2 x+3$ 图象上两点．
（1）求直线 $B C$ 对应函数的表达式；
（2）试判断是否存在实数 $m$ 使得 $y_1+2 y_2=10$ ．若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．
（3）已知 $P$ 是二次函数 $y=-x^2+2 x+3$ 图象上一点（不与点 $M, N$ 重合），且点 $P$ 的横坐标为 $1-m$ ，作 $\triangle M N P$ ．若直线 $B C$ 与线段 $M N, M P$ 分别交于点 $D, E$ ，且 $\triangle M D E$ 与 $\triangle M N P$ 的面积的比为 $1: 4$ ，请直接写出所有满足条件的 $m$ 的值．
（1）求直线 $B C$ 对应函数的表达式；
（2）试判断是否存在实数 $m$ 使得 $y_1+2 y_2=10$ ．若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．
（3）已知 $P$ 是二次函数 $y=-x^2+2 x+3$ 图象上一点（不与点 $M, N$ 重合），且点 $P$ 的横坐标为 $1-m$ ，作 $\triangle M N P$ ．若直线 $B C$ 与线段 $M N, M P$ 分别交于点 $D, E$ ，且 $\triangle M D E$ 与 $\triangle M N P$ 的面积的比为 $1: 4$ ，请直接写出所有满足条件的 $m$ 的值．