如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y=a x^2+b x$ 过点 $(-1,3)$ ，且对称轴为直线 $x=1$ ，直线 $y=k x-k$ 与抛物线交于 $A, B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当 $k=1$ 时，直线 $A B$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与直线 $x=2$ 交于点 $E$ ．若抛物线 $y=(x-h)^2-1$ 与线段 $D E$ 有公共点，求 $h$ 的取值范围；
（3）过点 $C$ 与 $A B$ 垂直的直线交抛物线于 $P, Q$ 两点，$M, N$ 分别是 $A B, P Q$ 的中点．试探究：当 $k$变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点 $T$ ，使得 $T C$ 总是平分 $\angle M T N$ ？若存在，求出点 $T$ 的坐标；若不存在，请说明理由．