单选题 （共 18 题 ），每题只有一个选项正确
$\sin 15^{\circ} \cos 75^{\circ}+\cos 15^{\circ} \sin 105^{\circ}$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
若 $\tan \alpha=3, \tan \beta=\frac{4}{3}$ ，则 $\tan (\alpha-\beta)$ 等于
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ -3
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{3}$
若 $\sin (\alpha+\beta)+\cos (\alpha+\beta)=2 \sqrt{2} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \sin \beta$ ，则
$\text{A.}$ $\tan (\alpha-\beta)=1$
$\text{B.}$ $\tan (\alpha+\beta)=1$
$\text{C.}$ $\tan (\alpha-\beta)=-1$
$\text{D.}$ $\tan (\alpha+\beta)=-1$
已知 $\sin \theta+\sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=1$ ，则 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin 70^{\circ} \sin 10^{\circ}+\cos 10^{\circ} \cos 70^{\circ}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan 87^{\circ}+\tan 48^{\circ}-\tan 87^{\circ} \tan 48^{\circ}$ 的值为
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
已知 $2 \tan \theta-\tan \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=7$ ，则 $\tan \theta=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
已知 $\sin \alpha+\sin \left(\alpha+\frac{2 \pi}{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)$ ，则 $\sin \alpha=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\pm \frac{\sqrt{21}}{7}$
$\text{C.}$ $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos ^2 \frac{\pi}{12}-\cos ^2 \frac{5 \pi}{12}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
若 $\tan \theta=-2$ ，则 $\frac{\sin \theta(1+\sin 2 \theta)}{\sin \theta+\cos \theta}=$
$\text{A.}$ $-\frac{6}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{2}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{6}{5}$
已知 $\sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{3}, \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{6}$ ，则 $\cos (2 \alpha+2 \beta)=$
$\text{A.}$ $\frac{7}{9}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{9}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{9}$
$\text{D.}$ $-\frac{7}{9}$
若 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \tan 2 \alpha=\frac{\cos \alpha}{2-\sin \alpha}$ ，则 $\tan \alpha=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{15}}{15}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{15}}{3}$
函数 $f(x)=\cos x-\cos 2 x$ 是
$\text{A.}$ 奇函数，且最大值为 2
$\text{B.}$ 偶函数，且最大值为 2
$\text{C.}$ 奇函数，且最大值为 $\frac{9}{8}$
$\text{D.}$ 偶函数，且最大值为 $\frac{9}{8}$
已知 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\sin 2 \alpha=$
$\text{A.}$ $-\frac{5}{9}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{9}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
已知 $\sin \left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{30}}{6}$ ，则 $\cos 4 \alpha=$
$\text{A.}$ $\frac{79}{81}$
$\text{B.}$ $-\frac{79}{81}$
$\text{C.}$ $\frac{7}{9}$
$\text{D.}$ $-\frac{7}{9}$
已知 $\alpha$ 为锐角， $\cos \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ ，则 $\sin \frac{\alpha}{2}=$
$\text{A.}$ $\frac{3-\sqrt{5}}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{-1+\sqrt{5}}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{3-\sqrt{5}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$
已知 $\cos (\pi+\theta)=\frac{1}{3}$ ，若 $\theta$ 是第二象限角，则 $\tan \frac{\theta}{2}=$
$\text{A.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $-\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
若 $\cos \alpha=-\frac{4}{5}, \alpha$ 是第三象限的角，则 $\frac{1-\tan \frac{\alpha}{2}}{1+\tan \frac{\alpha}{2}}=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $\tan \alpha=\frac{1}{2}$ ，则 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$
若 $\alpha, \beta$ 为锐角，且 $\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$ ，则 $(1+\tan \alpha)(1+\tan \beta)=$
已知 $\sin ^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{2}{3}$ ，则 $\sin 2 \alpha$ 的值是
若 $3 \sin \alpha-\sin \beta=\sqrt{10}, \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$ ，则 $\sin \alpha=$ $\_\_\_\_$ ， $\cos 2 \beta=$
已知 $\tan \theta=2$ ，则 $\cos 2 \theta=$ $\_\_\_\_$ $; \tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=$
已知 $\sin \theta=-\frac{3}{5}, 3 \pi < \theta < \frac{7 \pi}{2}$ ，求 $\tan \frac{\theta}{2}$ 的值．