单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $D_k$ 是圆域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ 在第 $k$ 象限的部分，记 $I_k=\iint_{D_k}(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y(k=1,2,3,4)$ ，则
$\text{A.}$ $I_1>0$ ．
$\text{B.}$ $I_2>0$ ．
$\text{C.}$ $I_3>0$ ．
$\text{D.}$ $I_4>0$ ．
如图，正方形 $\{(x, y)||x| \leqslant 1,|y| \leqslant 1\}$ 被其对角线划分为四个区域 $D_k(k=1,2,3,4), I_k=\iint_{D_k} y \cos x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，则 $\max _{1 \leqslant k \leqslant 4}\left\{I_k\right\}=$
$\text{A.}$ $I_1$ ．
$\text{B.}$ $I_2$ ．
$\text{C.}$ $I_3$ ．
$\text{D.}$ $I_4$ ．
设函数 $f(x, y)$ 连续，则 $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_x^2 f(x, y) \mathrm{d} y+\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_y^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_1^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
$\text{B.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_x^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
$\text{C.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_1^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
$\text{D.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_y^2 f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
设函数 $f(x, y)$ 连续，则二次积分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \mathrm{d} x \int_{\sin x}^1 f(x, y) \mathrm{d} y$ 等于
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\pi+\arcsin y}^\pi f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\pi-\arcsin y}^\pi f(x, y) \mathrm{d} x$.
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi+\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi-\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 2 x, x^2+y^2 \leqslant 2 y\right\}$ ，函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\text{A.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$.
$\text{B.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
$\text{C.}$ $2 \int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{1-\sqrt{1-x^2}}^x f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
$\text{D.}$ $2 \int_0^1 \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{2 x-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
二次积分 $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_y^1\left(\frac{\mathrm{e}^{x^2}}{x}-\mathrm{e}^{y^2}\right) \mathrm{d} x=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ ，计算 $\iint_D\left(x^2-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
设平面有界区域 $D$ 位于第一象限，由曲线 $x y=\frac{1}{3}, x y=3$ 与直线 $y=\frac{1}{3} x, y=3 x$ 围成，计算 $\iint_D(1+x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设平面区域 $D$ 由曲线 $\left(x^2+y^2\right)^2=x^2-y^2(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 与 $x$ 轴围成，计算二重积分 $\iint_D x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
设平面区域 $D$ 由曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\sin t, \\ y=1-\cos t\end{array}(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ 与 $x$ 轴围成，计算二重积分 $\iint_D(x+2 y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
计算积分 $\iint_D \frac{y^3}{\left(1+x^2+y^4\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是第一象限中曲线 $y=\sqrt{x}$ 与 $x$ 轴为边界的无界区域。
设 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+(y-2)^2 \leqslant 2\right\}$ ，计算二重积分 $\iint_D 2 x+3 y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
设曲线 $L$ 的方程为 $y=\frac{1}{4} x^2-\frac{1}{2} \ln x(1 \leqslant x \leqslant \mathrm{e})$ ．
（I）求 $L$ 的弧长；
（II）设 $D$ 是由曲线 $L$ ，直线 $x=1, x=\mathrm{e}$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形，求 $D$ 的形心横坐标．