填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
确定 $a, b$ 之值，使函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^x, & x < 0, \\ a, & x=0, \\ x+b, & x>0\end{array}\right.$ 处处连续．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x \sin \frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}$
找出函数 $f(x)=\frac{1}{1-\mathrm{e}^{\frac{x}{1-x}}}$ 的所有间断点，并判断其类型．
当 $x \rightarrow 1^{+}$时，$\sqrt{3 x^2-2 x-1} \ln x$ 与 $(x-1)^\alpha$ 为同阶无穷小，求 $\alpha$ ．
设 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=-1$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{f(2-x)-1}$ ．
设 $g(x)=f\left(\phi^2(x)-\phi\left(x^2\right)\right)$ ，其中 $f(u), \phi(x)$ 都是可导函数，求 $g^{\prime}(x)$
设 $\phi(x)$ 及 $\psi(x)$ 均为可导函数，$y(x)=\sqrt{\phi^2(x)+\psi^2(x)}$ ，求 $\mathrm{d} y$
求由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\ln \left(1+t^2\right), \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 所确定的函数 $y(x)$ 的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$ ．
确定函数 $f(x)=x|x-2|$ 的凹凸性，并求拐点．
求不定积分 $\int \frac{\arccos 3 x}{\sqrt{1-9 x^2}} \mathrm{~d} x$ ．
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 2-x, & 1 < x \leqslant 2,\end{array}\right.$ 试计算定积分 $\int_0^2 f(x) \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ．
求微分方程 $y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+6 y=6 x^2-2 x-1$ 的通解．
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
有一个上大下小的圆锥形水池，池口直径 20 米，深 15 米．池内盛满了水，求将水全部抽到池外所做的功．
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上满足条件 $f(x)>0, f^{\prime \prime}(x) < 0$ ，且 $f(0)=1 . P$ 为曲线 $f(x)$ 上一点，其横坐标为 $x$ ．曲边三角形 $P A B$（如图阴影部分）面积 $S=\frac{2}{3} x^3$ ，试求 $f(x)$ ．
设直线 $y=t x(0 < t < 1)$ 与抛物线 $y=x^2$ 所围成的图形面积为 $S_1$ ，它们与直线 $x=1$ 所围成的图形面积为 $S_2$ ．
1）试确定 $t$ 的值，使 $S_1+S_2$ 达到最小，并求出最小值；
2）求该最小值所对应的平面图形围绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设偶函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且 $\phi(x)=\int_0^x(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t$ ，试证明 $\phi(x)$ 为偶函数．
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且
$$
\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=f(b)
$$
求证：在 $(a, b)$ 至少存在一点 $\xi$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．