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《高等数学下期末考试试卷》第二学期第四套

发布日期 2026/2/5 22:20:20      查看 72      加入组卷      查看作者     
单选题
设函数 $f(x, y)$ 可微，且存在唯一驻点 $M_0\left(x_0, y_0\right)$ ，则 () ．
$\text{A.}$ $M_0$ 一定是 $f(x, y)$ 的极值点； $\text{B.}$ $M_0$ 一定是 $f(x, y)$ 的最值点； $\text{C.}$ $M_0$ 一定不是 $f(x, y)$ 的最值点； $\text{D.}$ 以上结论（A，B，C）都不对．
设三重积分 $\iiint_{\substack{0 \leqslant r \leqslant 1 \\ 0 \leqslant y \leqslant 1 \\ 0 \leqslant \leqslant 1}} x y z^2 \mathrm{e}^{x y z} \mathrm{~d} V=I_1, \iiint_{\substack{0 \leqslant \leqslant \leqslant 1 \\ 0 \leqslant \leqslant 1 \\-1 \leqslant \leqslant \leqslant 0}} x y z^2 \mathrm{e}^{x y z} \mathrm{~d} V=I_2$ ，则 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $I_1=I_2$ ； $\text{B.}$ $I_1 < I_2$ ； $\text{C.}$ $I_1>I_2$ ； $\text{D.}$ 以上结论（A，B，C）都不对．
若对 $\mathbf{R}^2$ 上的任何逐段光滑闭曲线 $L$ ，都有 $\oint_L\left(y \mathrm{e}^{x y}+x y\right) \mathrm{d} x+\left(x \mathrm{e}^{x y}-\right. \left.\lambda x^2\right) \mathrm{d} y=0$ ，则有
$\text{A.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}$ ； $\text{B.}$ $\lambda=\frac{1}{2}$ ； $\text{C.}$ $\lambda=-1$ ； $\text{D.}$ $\lambda=1$ ．
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n+\frac{1}{n}\right) x^n$ 的收敛半径 $R$ 为 ．
$\text{A.}$ $R=1$ ； $\text{B.}$ $R < 1$ ； $\text{C.}$ $R>1$ ； $\text{D.}$ $R$ 无法确定．
下列命题中，正确的命题个数为
（1）设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ ；
（2）设 $f(x)=x-\sin x$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 绝对收敛；
（3）如果 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有任意阶导数，则对 $x, x_0 \in(a, b)$ 有：
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n .
$$

$\text{A.}$ 0 ； $\text{B.}$ 1 ； $\text{C.}$ 2 ； $\text{D.}$ 3 ．
填空题
设区域 $D$ 由闭曲线 $|x|+|y|=1$ 围成，则 $\iint_D(x+y)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
椭球面 $S: x^2+2 y^2+z^2=k$（常数 $k>0$ ）外侧的一组法向量为
微分方程 $\left(2 x+\frac{y}{1+x^2 y^2}\right) \mathrm{d} x+\frac{x}{1+x^2 y^2} \mathrm{~d} y=0$ 的通解为
设 $\Sigma$ 为球面：$x^2+y^2+z^2=1$ ，则第一类曲面积分 $\iint_{\Sigma} x(4 x-z) \mathrm{d} S=$
设 $f(x)=x^{12} \mathrm{e}^{-3 x^2}$ ，则 $f^{(2012)}(0)=$ $\_\_\_\_$ （答案中用阶乘数＂$k$ ！＂表示）
解答题
设 $F(u, v)$ 具有连续的偏导数，且 $F_u(1,2)=F_v(1,2) \neq 0$ ．若 $z=z(x$ ， y）是由方程 $F\left(x+2 y, x^2 y z\right)=0$ 确定的隐函数，满足 $z(-1,1)=2$ ，求梯度 $\left.\operatorname{grad} z\right|_{(-1,1)}$.
计算重积分 $\iiint_{\Omega}\left(2 x^2+z^2\right) \mathrm{d} V$ ，其中区域 $\Omega$ 在球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 内，及圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 下，即 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid z \leqslant \sqrt{x^2+y^2}, x^2+y^2+z^2 \leqslant 1\right\}$ ．
计算曲线积分 $\oint_C\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $C$ 是星形线：$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$
计算曲线积分 $\oint_L \frac{x y \mathrm{~d} x+\left(y^2+x\right) \mathrm{d} y}{x^2+y^2+1}$ ，其中 $L$ 为圆 $x^2+y^2=1$ ，方向顺时针．
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} x^2 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^2 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为圆锥面 $z= \sqrt{x^2+y^2}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的下侧．
求函数项级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n(1-x)}{n\left(1-x^{2 n+1}\right)}$ 的收敛域．
（1）证明函数 $f(x)=\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2}$ 的麦克劳林级数展开式为

$$
f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} 2 n x^{2 n-1}, x \in(-1,1) ;
$$

（2）求级数 $\frac{1}{4}-\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^3}-\frac{4}{4^4}+\cdots$ 的和．
已知 $u_0=x_0=1, \frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{n}{n+2}, x_n=x_{n-1}+u_n, n=1,2, \cdots$ ，
（1）证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在；
（2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．