单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
中国邮政定于 2026 年 1 月 5 日发行《丙午年》特种邮票 1 套 2 枚，计划发行套票 26680000 套，将 26680000 用科学记数法表示应为
$\text{A.}$ $2668 \times 10^4$
$\text{B.}$ $2.668 \times 10^7$
$\text{C.}$ $2.668 \times 10^8$
$\text{D.}$ $0.2668 \times 10^8$
如图是某几何体从不同角度看到的图形，这个几何体是
如图是某几何体从不同角度看到的图形，这个几何体是
$\text{A.}$ 圆柱
$\text{B.}$ 三棱柱
$\text{C.}$ 圆锥
$\text{D.}$ 三棱锥
下列运算结果正确的是
$\text{A.}$ $5 x-x=5$
$\text{B.}$ $2 x^2+2 x^3=4 x^5$
$\text{C.}$ $a^2 b-a b^2=0$
$\text{D.}$ $-4 m n+n m=-3 m n$
如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点 $E, D, B, F$ 在同一条直线上，如果 $\angle A D E=126^{\circ}$ ，那么 $\angle D B C$ 的度数为
$\text{A.}$ $54^{\circ}$
$\text{B.}$ $74^{\circ}$
$\text{C.}$ $126^{\circ}$
$\text{D.}$ $36^{\circ}$
下列等式变形正确的是
$\text{A.}$ 若 $4 x=2$ ，则 $x=2$
$\text{B.}$ 若 $4 x-2=2-3 x$ ，则 $4 x+3 x=2-2$
$\text{C.}$ 若 $4(x+1)-3=2(x+1)$ ，则 $4(x+1)-2(x+1)=3$
$\text{D.}$ 若 $\frac{3 x+1}{2}-\frac{1-2 x}{3}=1$ ，则 $3(3 x+1)-2(1-2 x)=1$
如图，在灯塔 $O$ 处观测到轮船 $A$ 位于北偏西 $60^{\circ}$ 的方向，同时轮船 $B$ 在南偏东 $20^{\circ}$ 的方向，那么 $\angle A O B$的大小为
$\text{A.}$ $170^{\circ}$
$\text{B.}$ $140^{\circ}$
$\text{C.}$ $130^{\circ}$
$\text{D.}$ $80^{\circ}$
小明在学习了线段与角的知识之后，得到了两条结论：
甲：已知线段 $A B$ ，若平面内的点 $C$ 满足 $A C=B C$ ，则 $C$ 是线段 $A B$ 的中点；
乙：已知 $\angle A O B$ ，若射线 $O C$ 满足 $\angle A O C=\angle B O C$ ，则 $O C$ 是 $\angle A O B$ 的角平分线．
关于这两个结论，以下判断正确的是（ ）
$\text{A.}$ 甲错乙对
$\text{B.}$ 甲对乙错
$\text{C.}$ 甲乙都错
$\text{D.}$ 甲乙都对
对于一个正整数 $A$ ，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到 1 ，就称最初的正整数 $A$ 为＂快乐数＂、例如：
$7 \rightarrow 49 \rightarrow 97 \rightarrow 130 \rightarrow 10 \rightarrow 1$ ，所以 7 是＂快乐数＂．关于＂快乐数＂，有以下结论：
（1） 2026 是＂快乐数＂；
（2）将一个＂快乐数＂的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是 0 ）仍是＂快乐数＂；
（3）若一个正整数的各位数字的平方和是＂快乐数＂，则这个正整数也是＂快乐数＂
所有正确结论的序号是
$\text{A.}$ （1）（2）
$\text{B.}$ （1）（3）
$\text{C.}$ （2）（3）
$\text{D.}$ （1）（2）（3
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
为了测量一座古塔外墙底部的底角 $\angle A O B$ 的度数，李潇同学设计了如下测量方案：作 $A O, B O$ 的延长线 $O D, O C$ ，量出 $\angle C O D$ 的度数，从而得到 $\angle A O B$ 的度数．这个测量方案的依据是
请写出一个含有字母 $a$ 和 $b$ ，且次数为 3 的单项式
关于 $x$ 的方程 $(m-1) x^{|m|}-2=0$ 是一元一次方程，则 $m=$
计算 $70^{\circ}-42^{\circ} 10^{\prime}=$
若 $|a-2|+(b+3)^2=0$ ，则 $a-2 b$ 的值为
如图，将七边形 $A B C D E F G$ 沿虚线裁去一个角得到六边形 $A B C D Q P$ ，则该六边形的周长一定比原七边形的周长 $\_\_\_\_$ （填：＂大＂或＂小＂），其判断依据是
如图，点 $A, B, C, D$ 在同一条直线上，$A B: B C: C D=5: 4: 3, P, Q$ 分别是 $A B, C D$ 的中点，若 $P Q=6$ ，则 $A B$ 的长为
已知点 $A, B, C, D, E$ 的位置如图所示，下列结论：（1）$\angle A O B=130^{\circ}$ ；（2）$\angle B O C=\angle D O E$ ；（3） $\angle C O D$ 和 $\angle B O E$ 互补；（4）$\angle A O B$ 与 $\angle C O D$ 互余．所有正确结论的序号是
关于 $x$ 的方程 $m x-3=2\left(\frac{1}{2} x+2\right)$ 的解为整数，则自然数 $m$ 的值为
在数轴上有三个互不重合的点 $A, B, C$ ，它们代表的数分别为 $a, b, c$ ．下列结论：
（1）若 $a+b+c=0$ ，则在 $A, B, C$ 三点中，至少有一个点在原点左侧；
（2）若 $a b c>0$ ，则在 $A, B, C$ 三点中，至少有一个点在原点右侧；
（3）若 $a+b=c$ ，则点 $C$ 一定在线段 $A B$ 外；
（4）若 $a+b=2 c$ ，则点 $C$ 一定为线段 $A B$ 的中点．
所有正确结论的序号是
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（1）计算：$(-2)^3 \div 4+2 \times(-3)-(-5)$ ；
（2）先化简，再求值： $2\left(a^2 b-2 a b^2\right)-3\left(a^2 b-1\right)+4 a b^2$ ，其中 $a=-2, b=3$ ．
解方程：
（1） $3 x-7(x-1)=15$ ；
（2） $3 x+\frac{x-1}{2}=2-\frac{2 x-1}{3}$ ．
如图，已知线段 $A B$ ，点 $C$ 是线段 $A B$ 的中点，延长线段 $A B$ 到 $D, B D=3 A C, E$ 是 $A C$ 的中点．若 $C E=3$ ，求线段 $D E$ 的长．
已知关于 $x$ 的一元一次方程 $m x-2 n=1(m \neq 0)$ ．
（1）若 $x=1$ 是这个方程的解，求代数式 $4 m-3(3 n-1)+n$ 的值；
（2）若关于 $x$ 的方程 $3 m x=6 n+2026-k(m \neq 0)$ 与方程 $m x-2 n=1(m \neq 0)$ 的解相同，则 $k$ 的值为
如图，已知 $\angle P O Q$ ，点 $A, B$ 在射线 $O P$ 上，点 $C$ 在射线 $O Q$ 上．
（1）选择合适的工具，按以下要求画出图形：
① 过点 $A$ 画射线 $O Q$ 的垂线，垂足为 $D$ ；
② 画 $\angle A B C$ 的平分线 $B E$ 交 $A D$ 于点 $E$ ；
（2）若 $\angle P O Q=\frac{1}{2} \angle A B C$ ，求证：$B E \perp A D$ ．
请根据以下的证明过程，补全推理的依据．
证明：$\because B E$ 平分 $\angle A B C$ ，
$\therefore \angle A B E=\angle C B E=\frac{1}{2} \angle A B C$ ．（填推理的依据（1）： ）
$$
\begin{aligned}
& \because \angle P O Q=\frac{1}{2} \angle A B C, \\
& \therefore \angle A B E=\angle P O Q . \\
& \therefore B E / / O Q . \text { (填推理的依据(2):) } \\
& \therefore \angle B E D+\angle O D E=180^{\circ} . \text { (填推理的依据(3):) } \\
& \because A D \perp O Q, \\
& \therefore \angle O D E=90^{\circ} . \\
& \therefore \angle B E D=180^{\circ}-\angle O D E=90^{\circ} . \\
& \therefore B E \perp A D . \text { (填推理的依据(4): , ) }
\end{aligned}
$$
学校开展“健康小达人”主题活动，活动分为“耐力挑战”和“技巧闯关”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为
在参加活动时，在正式计分之前可以先体验一次．小明在体验时，“耐力挑战”得分与“技巧闯关”得分比为5∶4；在正式计分时，“耐力挑战”得分比体验时提高了10分，“技巧闯关”得分比体验时增加了10%，最后共得104分．请利用所学的一元一次方程知识，为小明颁发合适的奖项，并说明理由．
小明在学习＂余角和补角＂这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题：
【规律探索】
（1）锐角 $\angle \alpha$ 的补角与 $\angle \alpha$ 的余角之差为 ；
（2）如果锐角 $\angle \alpha$ 的补角为 $\angle \beta$ ，那么 $\frac{1}{2}(\angle \beta-\angle \alpha)$ 是 $\angle \alpha$ 的余角．请证明这个结论．
【问题思考】
（3）如果 $\angle A O B$ 和 $\angle B O C$ 互余，且 $\angle A O C=20^{\circ}$ ，直接写出此时 $\angle A O B$ 的度数．
小明对正整数的规律进行探索研究，他希望找到同时满足以下三个条件的 5 个正整数 $a_1, a_2, a_3$ ， $a_4, a_5$.
① $a_1, a_2, a_3$ 是三个连续偶数 $\left(a_1 < a_2 < a_3\right)$ ；
② $a_4, a_5$ 是两个连续奇数 $\left(a_4 < a_5\right)$ ；
③ $a_1+a_2+a_3=a_4+a_5$ ．
（1）若 $a_2=14$ ，那么 $a_1=$ $\_\_\_\_$ ，判断此时符合上述条件的 $a_4, a_5$ 的值是否存在？答： $\_\_\_\_$ （填＂存在＂，＂不存在＂或＂无法确定＂）；
（2）小明经过研究得出结论：＂当正整数 $a_2$ 是 4 的倍数时，符合上述条件的 $a_4, a_5$ 的值总是存在＂，判断这个结论是否正确，并说明理由．
已知 $\angle A O B=50^{\circ}, O P$ 为平面内一条射线（不与 $O A, O B$ 重合），$O Q$ 平分 $\angle P O B$ ，记 $\angle P O B=k \angle P O A, \quad \angle Q O B=m \angle Q O A$ ．
（1）如图 1，$O P \perp O A$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ；
（2）若 $k=\frac{3}{2}$ ，求 $m$ 的值；
（3）若 $k=m$ ，直接写出此时 $k$ 的值和 $\angle A O Q$ 的度数．
28．对数轴上的线段 $A B$ 和点 $P, Q$ ，给出如下定义：如果在线段 $A B$ 上分别存在点 $M, N$（点 $M, N$ 可以重合），使得 $P M=Q N$ ，则称点 $P, Q$ 是线段 $A B$ 的一组＂关联点＂．已知点 $A$ 表示的数是 3 ，点 $P$ 表示的数是 $p$ ．
（1）若点 $B$ 表示的数是 $1, p=-1$ ，
① 点 $Q_1, Q_2, Q_3$ 分别表示数 $5, \frac{5}{3},-4$ ，则在这三个点中，点 $P$ 与点 $\_\_\_\_$是线段 $A B$ 的一组＂关联点＂；
② 点 $Q$ 表示的数是 $q$ ，若点 $P, Q$ 是线段 $A B$ 的一组＂关联点＂，求 $q$ 的最大值和最小值；
（2）若点 $B$ 表示的数与点 $P$ 表示的数互为相反数，点 $Q$ 表示的数为 $4 p$ ，若线段 $P Q$ 上任意两点都是线段 $A B$ 的一组＂关联点＂，直接写出 $p$ 的取值范围．