单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
$x=0$ 是函数 $f(x)=\frac{2}{1+e^{\frac{1}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}$ 的 间断点．
$\text{A.}$ 可去；
$\text{B.}$ 跳跃；
$\text{C.}$ 振荡；
$\text{D.}$ 无穷．
若 $f(x)=2^x$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln [f(1) f(2) \cdots f(n)]}{n^2}=$
$\text{A.}$ $\ln 2$ ；
$\text{B.}$ $\frac{\ln 2}{2}$ ；
$\text{C.}$ 1 ；
$\text{D.}$ -1 ．
函数 $f(x)=\int_{x-\pi}^{x+\pi} e^{\sin t} \cos t d t$ ，则 $f(x)=$ ．
$\text{A.}$ 正常数；
$\text{B.}$ 负常数；
$\text{C.}$ 恒为零；
$\text{D.}$ 非常数．
设 $y_1, y_2$ 是二阶线性方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0$ 的两个解，那么 $y=C_1 y_1+ C_2 y_2\left(C_1, C_2\right.$ ，是任意常数）是该方程通解的充分必要条件是
$\text{A.}$ $y_1^{\prime} y_2+y_1 y_2^{\prime}=0$ ；
$\text{B.}$ $y_1^{\prime} y_2+y_1 y_2^{\prime} \neq 0$ ；
$\text{C.}$ $y_1^{\prime} y_2-y_1 y_2^{\prime}=0$ ；
$\text{D.}$ $y_1^{\prime} y_2-y_1 y_2^{\prime} \neq 0$ ．
若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有二阶导数，且 $f(x)>0$ ，能使不等式 $f(b)(b-a) < \int_a^b f(x) d x < (b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}$ 成立的是 ．
$\text{A.}$ $f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x) < 0$ ；
$\text{B.}$ $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ；
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x) < 0$ ；
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(1+x)^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a=$
函数 $f(x)=\frac{x}{2}-\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内的极小值为
函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 是可导的偶函数，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(3-x)-f(3)}{2 x}=1$ ，则 $y=f(x)$ 在点（ $-3, f(-3)$ ）处的切线斜率为
若 $\int_0^x f(t) d t=\frac{1}{2} x^4$ ，则 $f(1)=$
若 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，则 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}[f(x)-f(-x)] \sin ^2 x d x=$
若方程 $y^{\prime}+y \tan x=-2 \cos 2 x$ 有一个特解 $y=f(x)$ ，且 $f(0)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
若 $y=\frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} \quad(a>0)$ ，求 $\frac{d y}{d x}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^2-x^3 \sin \frac{1}{x}\right)$
计算不定积分 $\int(\arcsin x)^2 d x$
计算定积分 $\int_0^5 \frac{x+1}{\sqrt{3 x+1}} \mathrm{~d} x$
若 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2} \cos ^3 t, \\ y=\sqrt{2} \sin ^3 x,\end{array}\right.$ ，求 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}$
如果 $y=f(x)$ 满足 $\Delta y=\frac{1-x}{\sqrt{2 x-x^2}} \Delta x+o(\Delta x)$ ，且 $f(1)=1$ ，求 $f(x)$
摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array}(a>0)\right.$ 的第一拱 $(0 \leq t \leq 2 \pi)$ ，求（1）该摆线的弧长（2）该摆线与 $x$ 轴围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得立体的体积．
若 $\varphi(x)$ 连续，且满足方程 $\varphi(x)=\mathrm{e}^x+\int_0^x t \varphi(t) d t-x \int_0^x \varphi(t) d t$ ，（1）写出与该方程等价的二阶微分方程初值问题；（2）求 $\varphi(x)$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
若 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续，且 $\int_0^a f(x) d x=0$ ，证明至少存在一点 $\xi \in(0, a)$ ，使得 $f(\xi)+\int_0^{\xi} f(x) d x=0$