解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
用极限的定义证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2010}=1$
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x-\frac{1}{\sqrt[x]{e}-1}\right)$
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[5]{x^5+x^4}-\sqrt[3]{x^3-x^2}\right)$
求不定积分 $\int e^{a x} \sin b x \mathrm{~d} x$（其中 $a, b$ 为常数）
求不定积分 $\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$
证明不等式 $2^{1-\lambda} \leq x^\lambda+(1-x)^\lambda \leq 1$（其中 $0 \leq x \leq 1, \lambda>1$ ）
设函数 $y=f(x)$ 与函数 $x=\varphi(y)$ 互为反函数，且已知 $f(2)=3, f^{\prime}(2)=\frac{1}{4}$ ，并设 $g(x)=f^2[4 x-\varphi(2 x+1)]$ ，求 $g^{\prime}(1)$
设 $f\left(x_0\right)$ 是连续函数 $f(x)$ 的一个极值，问 $f^2\left(x_0\right)$ 是否为 $f^2(x)$ 的一个极值？为什么？
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导，在 $(a, b)$ 二阶可导，$f(a)=f(b)=0, f_{+}^{\prime}(a)>0, f_{-}^{\prime}(b)>0$ ，求证： $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内至少有一个零点．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 无界，证明存在 $\xi \in[a, b]$ 使 $f(x)$ 在 $\xi$ 的任何邻域内都无界．
设 $f(x)>0$ ，在 $(0,+\infty)$ 递增， $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(3 x)}{f(x)}=1$ ，求证：对任意 $a>0$ 有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(a x)}{f(x)}=1$ ．