填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
常数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 \tan \frac{\pi}{4^n} $ ()（填：收敛或发散）．
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\left[2^n+(-1)^n\right]} X^n$ 的收敛域为
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \\ 0, \frac{\pi}{2} < x < \pi,\end{array}\right.$ ，它的以 $2 \pi$ 为周期的余弦级数的和函数为 $s(x)$ ，则
$$
s\left(\frac{3 \pi}{2}\right)=
$$
极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^2}{x^2+y^2+x^4}=$
设 $f(u, v)$ 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，$z=f(x, x y)$ ，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
曲线 $C:\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2+z^2=6 \\ 2 x+z=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,-2)$ 处的切线方程为
设曲面 $\sum: x^2+y^2+z^2=R^2, z \geq 0$ ，则 $\iint_{\Sigma}(x+y+z)^2 d S=$
设 曲 线 $C: x^2+y^2=1, y \geq 0$ ，方 向为点 $A(1,0)$ 到 $B(-1,0)$ ，则 $\int_C\left(y^3 \mathrm{e}^x-2 y\right) d x+\left(3 y^2 \mathrm{e}^x-2\right) d y=$
设函数 $f(x, y)$ 连续，二次积分 $\int_{-1}^0 d y \int_{1-y}^2 f(x, y) d x+\int_0^1 d y \int_1^{1+\sqrt{1-y^2}} f(x, y) d x$ 交换积分次序后可化为
设闭曲线 $C:\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2+z^2=a^2(a>0) \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ ，则曲线积分 $\oint_C y^2 d s=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设平面区域 $D: x^2+y^2 \leq R^2, f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1+x^2+y^2}, & y \geq|x| \\ 0, & y < x \mid\end{array}\right.$ ，求以 $D$ 为底，$z=f(x, y)$ 为顶的曲顶柱体的体积．
设 $\Omega$ 是由曲面 $z-1=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 与 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 所围成的区域，求（1）
三重积分 $I=\iiint_{\Omega} \frac{1+x z+y z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} d V$ 的值；（2）$\Omega$ 的表面积．
在曲面 $z=2-x^2-y^2$ 位于第一卦限的部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小．
计算曲线积分 $I=\oint_C \frac{y d x-(x-1) d y}{(x-1)^2+y^2}$ ，其中 $C$ 为圆周 $x^2+y^2=R^2 \quad(R \neq 1)$的正向．
计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} x y^2 d y \wedge d z+y z^2 d z \wedge d x+z x^2 d x \wedge d y$ ，其中 $\Sigma$ 是曲面 $y=\sqrt{4-z^2-x^2}$ 的右侧．
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一阶导数连续，$C$ 是上半平面 $(y>0)$ 内的有向光滑曲线，其起点为 $(1,4)$ ，终点为 $(4,1)$ ，记
$$
I=\int_C\left[\frac{1}{y}+y f(x y)\right] d x+\frac{x}{y^2}\left[y^2 f(x y)-1\right] d y
$$
（1）证明曲线积分 $I$ 与路径无关；（2）求出 $I$ 的值．
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 及 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ 均收敛，且 $a_n \leq b_n \leq c_n, n=1,2, \cdots$ ，问：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$收敛还是发散？请给出理由．