单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
若过点 $(2,1)$ 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 $2 x-y-3=0$ 的距离为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$
方程 $x^2+y^2+4 m x-2 y+5 m=0$ 表示圆的充要条件是（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{4} < m < 1$
$\text{B.}$ $m < \frac{1}{4}$ 或 $m>1$
$\text{C.}$ $m < \frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $m>1$
圆 $x^2+y^2-4 x+6 y=0$ 的圆心坐标和半径分别是（ ）
$\text{A.}$ $(2,3), 3$
$\text{B.}$ $(-2,3), \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $(-2,-3), 13$
$\text{D.}$ $(2,-3), \sqrt{13}$
在平面内，$A, B$ 是两个定点，$C$ 是动点，若 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B C}=1$ ，则点 $C$ 的轨迹为 ()
$\text{A.}$ 圆
$\text{B.}$ 椭圆
$\text{C.}$ 抛物线
$\text{D.}$ 直线
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若坐标原点在圆 $(x-m)^2+(y+m)^2=4$ 的内部，则实数 $m$ 的取值范围为 $\qquad$ ．
若圆 $C$ 的直径的两个端点分别是 $A(-1,2), B(1,4)$ ，则圆 $C$ 的标准方程为 $\qquad$ ．
若已知圆过点 $A(2,-3), B(-2,-5), C(0,1)$ ，则圆的方程为
已知圆 $C$ 经过 $P(-2,4), Q(3,-1)$ 两点，且在 $x$ 轴上截得的弦长为 6 ，则圆 $C$ 的方程为
若一个圆与 $y$ 轴相切，圆心在直线 $x-3 y=0$ 上，且在直线 $y=x$ 上截得的弦长为 $2 \sqrt{7}$ ，则该圆的方程为
在平面直角坐标系中，经过三点 $(0,0),(1,1),(2,0)$ 的圆的方程为
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设点 $M$ 在直线 $2 x+y-1=0$ 上，点 $(3,0)$ 和 $(0,1)$ 均在圆 $M$ 上，则 圆 $M$ 的方程为
过四点 $(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)$ 中的三点的一个圆的方程为 $\qquad$ ．
已知点 $(x, y)$ 在圆 $(x-2)^2+(y+3)^2=1$ 上，求 $x+y$ 的最大值和最小值．
已知点 $(x, y)$ 在圆 $(x-2)^2+(y+3)^2=1$ 上求 $x_x^y$ 的最大值和最小值．
若实数 $x , y $满足 ${x}^2+{y}^2+2 {x}-4 {y}+1=0$ ，求下列各式的最大值和最小值．
（1）$\frac{{y}}{{x}-4}$ ；
（2） $3 x-4 y$ ；
（3）$x^2+y^2$ ．
已知点 $P(2,4)$ ，点 $Q(4,0), R$ 是圆 $C:(x-6)^2+y^2=9$ 上动点，则 $\overrightarrow{P Q} \cdot \overrightarrow{P R}$ 的最小值为 $\qquad$ ．
已知圆 $x^2+y^2=4$ 上一定点 $A(2,0), B(1,1)$ 为圆内一点，$P, Q$ 为圆上的动点．
（1）求线段 $A P$ 中点的轨迹方程；
（2）若 $\angle P B Q=90^{\circ}$ ，求线段 $P Q$ 中点的轨迹方程．
已知点 $\boldsymbol{P}$ 为直线 $y=\sqrt{5}$ 上一动点，过点 $\boldsymbol{P}$ 作圆 $x^2+y^2=4$ 的切线，切点分别为 $A 、 B$ ，且 $\angle A P B \geq 90^{\circ}$ ，则动点 $P$ 的轨迹的长度为
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $P$ 在 $x$ 轴上截得线段长为 $2 \sqrt{2}$ ，在 $y$ 轴上截得线段长为 $2 \sqrt{3}$ ．
（1）求圆心 $P$ 的轨迹方程；
（2）若 $P$ 点到直线 $y=x$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求圆 $P$ 的方程．