单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
若规定幅角主值 $\arg z \in[0,2 \pi)$ ，则 $\arg \left[(\sqrt{3}+i)^{-3}\right]$ 为 () ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3 \pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \pi}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{4}$
复数 $z=-3\left(\cos \frac{4}{5} \pi-i \sin \frac{4}{5} \pi\right)$ 的三角表示式为 ）．
$\text{A.}$ $3\left(\cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi\right)$
$\text{B.}$ $3\left(\cos \frac{\pi}{5}-i \sin \frac{\pi}{5}\right)$
$\text{C.}$ $3\left(\cos \frac{4}{5} \pi-i \sin \frac{4}{5} \pi\right)$
$\text{D.}$ $3\left(\cos \frac{\pi}{5}+i \sin \frac{\pi}{5}\right)$
函数 $f(z)$ 在点 $z$ 可导是 $f(z)$ 在点 $z$ 解析的（ ）．
$\text{A.}$ 充分但非必要条件
$\text{B.}$ 必要但非充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非充分条件也非必要条件
函数 $f(z)=3|z|^2$ 在点 $z=0$ 处（ ）．
$\text{A.}$ 解析
$\text{B.}$ 可导但不解析
$\text{C.}$ 不可导
$\text{D.}$ 不连续
设 $Z_1$ 和 $Z_2$ 为非零复数，则下列等式中，不成立的是（）．
$\text{A.}$ $\operatorname{Re}\left(z_1 \bar{z}_2\right)=\operatorname{Re}\left(\bar{z}_1 z_2\right)$
$\text{B.}$ $\operatorname{Ln}\left(z_1^2 z_2^2\right)=2 \operatorname{Ln} z_1+2 \operatorname{Ln} z_2$
$\text{C.}$ $\operatorname{Arg}\left(\frac{z_1}{\bar{z}_2}\right)=\operatorname{Arg} z_1+\operatorname{Arg} z_2$
$\text{D.}$ $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\bar{z}_1 z_2}{\left|z_2\right|^2}$
设 $D$ 为复平面除去上半虚轴的割缝区域，$W=\sqrt{z}$ 为该区域上的单值分支，且 $W(-1)=-i$ ，则 $w(-i)$ 的值为（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i)$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)$
设 $C$ 为由原点到 $1+i$ 的直线段，则积分 $\int_C(\bar{z})^2 d z$ 等于 () ．
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}(1+i)$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}(1-i)$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}(-1+i)$
$\text{D.}$ $-\frac{2}{3}(1+i)$
设 $C$ 为正向圆周 $|z|=3, g(\zeta)=\oint_C \frac{2 z^2-z-2}{z-\zeta} d z(|\zeta| \neq 3)$ ，则 $g(2)$ 的值为 ．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $2 \pi i$
$\text{C.}$ $4 \pi i$
$\text{D.}$ $8 \pi i$
设 $a, b$ 为正实数，则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{a^n+i b^n}$ 的收敛半径是 ）．
$\text{A.}$ $\max \{a, b\}$
$\text{B.}$ $\min \{a, b\}$
$\text{C.}$ $\max \left\{\frac{1}{a}, \frac{1}{b}\right\}$
$\text{D.}$ $\min \left\{\frac{1}{a}, \frac{1}{b}\right\}$
函数 $z \cos z^2$ 在 $z=0$ 的泰勒级数为（ ）．
$\text{A.}$ $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{4 n+1}}{(2 n)!}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{4 n+1}}{(2 n+1)!}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2 n+1}}{(2 n)!}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{4 n+1}}{n!}$
洛朗级数 $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} 3^{-|n|}(z-3)^n$ 的收敛圆环为 () ．
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} < |z| < 3$
$\text{B.}$ $3 < |z-3| < +\infty$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3} < |z-3| < 3$
$\text{D.}$ $0 < |z-3| < 3$
$z=0$ 为函数 $f(z)=\frac{1}{\cos z-1}+\frac{2}{z^2}$ 的 ）．
$\text{A.}$ 可去奇点
$\text{B.}$ 一阶极点
$\text{C.}$ 二阶极点
$\text{D.}$ 本性奇点
设 $f(z)=\frac{ e ^z-a}{(z-b)(z-1)}$ ，其中 $z=1$ 和 $z=0$ 分别为 $f(z)$ 的可去奇点和极点，则积分 $\oint_{|z|=2} f(z) d z$ 的值为（ ）。
$\text{A.}$ $2 \pi i(e-1)$
$\text{B.}$ $2 \pi i(1-e)$
$\text{C.}$ $2 \pi e i$
$\text{D.}$ $-2 \pi e i$
实积分 $\int_0^\pi \frac{ d \theta}{5-3 \cos \theta}$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{5}$
方程 $z^4-5 z+1=0$ 在圆环 $1 < |z| < 2$ 内根的个数为（）．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
下列函数中，在单位圆盘 $|z| < 1$ 内非单叶解析的函数是（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{z}{(1+z)^2}$
$\text{B.}$ $\frac{z^2}{1+z}$
$\text{C.}$ $\frac{Z}{1+Z}$
$\text{D.}$ $\frac{z}{1+z^2}$
分式线性变换 $W=\frac{2 z-1}{2-z}$ 把圆周 $|z|=1$ 映射为（ ）。
$\text{A.}$ $|w|=1$
$\text{B.}$ $|w|=2$
$\text{C.}$ $|w-1|=1$
$\text{D.}$ $|w-1|=2$
点 $1+i$ 关于圆 $(x-2)^2+(y-1)^2=4$ 的对称点是（ ）．
$\text{A.}$ $6+i$
$\text{B.}$ $4+i$
$\text{C.}$ $-2+i$
$\text{D.}$ $i$
把带形域 $0 < \operatorname{Im} z < \frac{\pi}{2}$ 映射成上半平面 $\operatorname{Im} w>0$ 的一个映射可写为（ ）
$\text{A.}$ $w=2 e^z$
$\text{B.}$ $W=e^{2 z}$
$\text{C.}$ $w=i e^z$
$\text{D.}$ $W=e^{i z}$
若 $u(x, y), v(x, y)$ 为区域 $D$ 内的调和函数，则在下列函数
$$
u(x, y)+v(x, y), u(x, y)-v(x, y), u(x, y) v(x, y), u^2(x, y)+v^2(x, y)
$$
中，调和函数的个数是（ ）．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
判断题 （共 5 题 ）
若分式线性函数 $W=\frac{a z+b}{c z+d}$ 将直线映成直线，则一定有 $c=0$ ．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设函数 $w=f(z)$ 在区域 $D$ 内解析且不等于零，则 $f(z)$ 在 $D$ 内不能取得最小模．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
不存在整函数将全平面一对一映射成单位圆内部．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $z_0$ 为函数 $f(z)$ 的孤立奇点，则 $z_0$ 为函数 $f(z)$ 的可去奇点的充要条件是 $\operatorname{Res}\left(f, z_0\right)=0 .(\quad)$
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $n$ 为大于 1 的正整数，则积分 $\oint_{|z|=2} \frac{d z}{z^n-1}$ 的值与 $n$ 有关．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$\left|z^{2017}+z^{2018}+z^{2019}\right|$ 的值为 $\qquad$ ．
设函数 $f(z)=x^2-y^2+i v(x, y)$ 在复平面上解析，则 $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)$ 的值为 $\qquad$ ．
设 $f(z)$ 是函数 $W=\sqrt[5]{z}=\sqrt[5]{|z|} e^{\frac{i}{5}(\arg z+2 k \pi)}(k=0,1,2,3,4)$ 在沿正实轴割开的割缝区域的一个单值分支，若 $f(-i)=e^{i \frac{7 \pi}{10}}$ ，则 $k$ 的值为 $\qquad$ ．
设 $C$ 为圆周 $|z|=1$ 从 1 到 -1 的上半部分，则 $I=3 \int_C\left(z^2+\overline{z z}\right) d z=$ $\qquad$ ．
设 $C:|z|=2$ 为逆时针方向，则积分 $\oint_C \frac{\sin z d z}{\left(z-\frac{\pi}{2}\right)^4}=$ $\qquad$ ．
$z=0$ 作为函数 $z^2(\sin z-2 z)$ 零点的阶数是 $\qquad$ ．
设 $f(z)=\frac{(1+z)^2}{z^4-1}$ ，则 $\operatorname{Res}(f, 1)$ 的值为 $\qquad$ ．
设 $f(z)=\frac{z^2+1}{z^5}, C:|z|=2$ 为逆时针方向，则 $\frac{1}{2 \pi} \Delta_C \arg f(z)$ 的值为 $\qquad$ ．
设函数 $f(z)=\sin (\pi z)$ 在圆盘 $|z| < r$ 内是保角的，则 $r$ 的最大值是 $\qquad$ ．
设解析函数 $f(z)$ 满足 $\operatorname{Re} f(z)=2 x(1-y)$ ，且 $f(0)=0$ ，则 $\operatorname{Im} f(1+i)$ 的值为 $\qquad$ ．