单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
下列复数序列收敛的是
$\text{A.}$ $\left\{i^n\right\}$
$\text{B.}$ $\left\{e^{\frac{n \pi i}{2}}\right\}$
$\text{C.}$ $\left\{\frac{1-n i}{1+n i}\right\}$
$\text{D.}$ $\left\{\left(\frac{1+5 i}{2}\right)^n\right\}$
下列复数项级数绝对收敛的是（ ）．
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^n}{n}+\frac{i}{n^2}\right]$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \cos$ in
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1+i)^n}{n!}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} e^{\frac{\pi}{n} i}$
下列结论不正确的是（ ）。
$\text{A.}$ 若实数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_n$ 都绝对收敛，则复数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n+i b_n\right)$ 也绝对收敛
$\text{B.}$ 若实数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_n$ 都条件收敛，则复数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n+i b_n\right)$ 也条件收敛
$\text{C.}$ 若复数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} \beta_n$ 都绝对收敛，则复数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\alpha_n+\beta_n\right)$ 也绝对收敛
$\text{D.}$ 若复数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} \beta_n$ 都条件收敛，则复数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\alpha_n+\beta_n\right)$ 也条件收敛
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n(z-1)^n$ 在 $z=i$ 处收敛，则该幂级数在 $z=-i$ 处（）．
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 条件收敛
$\text{D.}$ 敛散性不确定
设 $a, b$ 为正实数，则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{a^n+i b^n}$ 的收敛半径是（ ）。
$\text{A.}$ $\max \{a, b\}$
$\text{B.}$ $\min \{a, b\}$
$\text{C.}$ $\max \left\{\frac{1}{a}, \frac{1}{b}\right\}$
$\text{D.}$ $\quad \min \left\{\frac{1}{a}, \frac{1}{b}\right\}$
函数 $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(z+1)^n$ 在 $z=-\frac{i}{2}$ 处
$\text{A.}$ 的值为 4
$\text{B.}$ 的值为 2
$\text{C.}$ 的值为 -4
$\text{D.}$ 不存在
函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{1-z^n}$ 和函数的最大解析区域（）。
$\text{A.}$ 为 $|z| < 1$
$\text{B.}$ 为 $|z|>1$
$\text{C.}$ 为 $|z| < 1$ 或 $|z|>1$
$\text{D.}$ 不存在
判断题 （共 6 题 ）
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2}$ 在闭单位圆盘 $|z| \leq 1$ 上一致收敛．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
复数项级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{i^n}{n^2+(-1)^n}$ 是绝对收敛的．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设复数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n$ 收敛，而级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left|c_n\right|$ 发散，则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n$ 的收敛半径为 1
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n$ 的收敛半径为 $R$ ，则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\operatorname{Re} c_n\right) z^n$ 的收敛半径也为 $R$ 。
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{\ln (n+1)}$ 在圆周 $|z|=1$ 上有无穷多个发散的点．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ 收敛，且存在常数 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 使得 $\left|\arg c_n\right| \leq \alpha(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ 绝对收敛。
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
复数序列 $\left\{\frac{i^n}{\ln n}\right\}$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时的极限为 $\qquad$ ．
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{3^n}(z+i)^n$ 的收敛半径为 $\qquad$ ．
若幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \cdot 4^n} z^{2 n}$ 和函数在圆盘 $|z| < a$ 内解析，则 $a$ 的最大值为 $\qquad$ ．
若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n(z+i)^n$ 在 $z=3 i$ 处条件收敛，则该幂级数的收敛半径为 $\qquad$ ．