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《概率论与数理统计A》期末考试模拟试卷与答案

发布日期 2025/8/17 14:29:02      查看 1      加入组卷      查看作者     
单选题
设事件 A 与 B 的概率均大于零小于 1 ，且 A 与 B 为对立事件，则下列不成立的是
$\text{A.}$ A、B 互不相容 $\text{B.}$ $\overline{ A }$ 与 $\overline{ B }$ 互不相容 $\text{C.}$ A、B 不独立 $\text{D.}$ A、B 独立
以下哪个函数可以成为某个随机变量的分布函数
$\text{A.}$ $F (x)=\left\{\begin{array}{cc}0, & x \leq 2, \\ 0.4, & 2 < x < 3, \\ 1, & x \geq 3 .\end{array}\right.$ $\text{B.}$ $F (x)=\left\{\begin{array}{cc}0, & x < 0, \\ \frac{x^2}{4}, & 0 \leq x < 2, \\ 1, & x \geq 2 .\end{array}\right.$ $\text{C.}$ $F (x)=\left\{\begin{array}{cc}0.2, & x=0, \\ 0.6, & x=1, \\ 0, & \text { 其它．}\end{array}\right.$ $\text{D.}$ $F (x)=\left\{\begin{array}{cc}2-e^{-\frac{x}{2}}, & x>0, \\ 0, & x \leq 0 .\end{array}\right.$
设 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且有相同的分布律： $P \{X=-1\}=0.3, P \{Y=1\}=0.7$ 则下列正确的是
$\text{A.}$ $X=Y$ $\text{B.}$ $P \{X=Y\}=0.42$ $\text{C.}$ $P \{X=Y\}=0.58$ $\text{D.}$ $P \{X=Y\}=1$
设总体 $X \sim N\left(5,4^2\right), X_1, X_2, \ldots, X_n$ 为 $X$ 的样本，则下面结果正确的是
$\text{A.}$ $\frac{\bar{X}-5}{4} \sim N(0,1)$ ； $\text{B.}$ $\frac{\bar{X}-5}{16} \sim N(0,1)$ ； $\text{C.}$ $\frac{\bar{X}-5}{2} \sim N(0,1)$ ； $\text{D.}$ $\frac{\bar{X}-5}{4 / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$ ．
设 $X_1, X_2, \ldots, X_6$ 是来自正态总体 $N(0,1)$ 的样本，若统计量 $T=C\left[\left(X_1+X_2\right)^2+\left(X_3+X_4\right)^2+\left(X_5+X_6\right)^2\right]$ 服从 $\chi^2$ 分布，则常数 $C=( )$
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$ $\text{B.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{C.}$ 3 $\text{D.}$ 2
填空题
设 $P ( A \cup B )=0.8, P ( B )=0.4$ ，则 $P ( A \mid \overline{ B })=$ ．
向单位圆 $x^2+y^2 < 1$ 内随机投下 3 点，则这 3 点恰有 2 点落在第一象限中的概率为
设 随 机 变 量 $X \sim N\left(1,2^2\right), Y \sim N\left(2,3^2\right)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相 互 独 立，$Z=2 X-Y+1$ ，则 $Z \sim $.
已知 $X \sim U(a, b)$ ，则 $E(X)= D(X)=$ ．
解答题
某工厂某车间有两台机器同时生产日光灯，已知第二台机器的产量是第一台机器的 3 倍，而第一、二台机器的次品率分别为 $0.004,0.003$ 。现从两台机器生产的日光灯中任取一只，
（1）求这只日光灯是次品的概率。
（2）若已知所取的这只日光灯是次品，求它是由第一台机器生产的概率。解：设 A 表示任取一只日光灯是次品，$B_i(i=1,2)$ 表示取到产品是由第 $i$ 个机器生产的，则所求概率分别为
设随机变量 $X$ 的分布律如下：

（1）计算数学期望 $E(X)$ ；
（2）计算方差 $D(X)$ ；
（3）求 $Z=X^2-1$ 的分布律．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为，

$$
f(x, y)= \begin{cases}k x y, & 0 < x < 1, x < y < 1, \\ 0, & \text { 其它 }\end{cases}
$$

（1）求未知数 $k$ ；
（2）求 $X, Y$ 的边缘概率密度，并判断 $X, Y$ 是否独立；
（3）求概率 $P\{X+Y \leq 1\}$ 。
设 100 台车床独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的 $80 \%$ ，请使用中心极限定理，求任一时刻有 70 到 90 台车床工作的概率（结果用 $\Phi(x)$ 表示）。
设总体 $X$ 的概率密度函数为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{lc}
(\sqrt{\alpha}+1) x^{\sqrt{\alpha}}, & 0 < x < 1 \\
0, & \text { 其它 }
\end{array}(\alpha>0)\right.
$$
$X_1, X_2, \ldots \ldots, X_n$ 为总体 $X$ 的一个样本，试求未知参数 $\alpha$ 的
（1）矩估计量，（2）最大似然估计量。
设某种油漆的干燥时间 $X$（以小时计）服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，现随机地抽取 9 个样品进行检测，测得干燥时间的均值 $\bar{x}=6$（小时），样本的均方差 $S=0.6 。 \sigma^2$ 未知的情况下，求 $\mu$ 的取置信水平为 $95 \%$ 的双侧置信区间（结果精确到两位小数）。
某产品的一项质量指标 $X \sim N\left(\mu, 0.05^2\right)$ ，现从一批产品中随机地抽取 6 件，测得样本的方差 $S^2=0.008$ ，问根据这一数据能否推断该产品的方差较以往有显著的变化？$(\alpha=0.05)$
某商场自开办有奖销售以来的 23 期中奖号码中，各号码出现的频数如下所示

试问在出现这样结果的情况下，各号码出现的可能性是否相同（ $\alpha=0.05$ ）？

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