单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走 2 m ，以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m ，乙每分钟走 5 m 。甲、乙开始运动后，相遇的时间为 $\qquad$分钟。
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 7
$\text{C.}$ 11
$\text{D.}$ 14
定义 $\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=a d-b c$ ，已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，且 $a_{3}=1, ~\left|\begin{array}{cc}a_{6} & 8 \\ 8 & a_{8}\end{array}\right|=0$ ，则 $a_{7}=$
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ $\pm 4$
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ $\pm 8$
南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称为＂三角垛＂。＂三角垛＂的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，$\cdots$ ，设各层球数构成一个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $a_{4}=12$
$\text{B.}$ $a_{n+1}=a_{n}+n+1$
$\text{C.}$ $a_{100}=5050$
$\text{D.}$ $2 a_{n+1}=a_{n} \cdot a_{n+2}$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
对于每一个正整数 $n$ ，设曲线 $y=x^{n^{+}}$在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $x_{n}$ ，令 $a_{n}=\lg x_{n}$ ，则 $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{99}=$ $\qquad$。
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$b_{n}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}-6, n \text { 为奇数 } \\ 2 a_{n}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，记 $S_{n}, T_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{4}=32$ ， $T_{3}=16$.
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：当 $n > 5$ 时，$T_{n} > S_{n}$ ．
记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1}=1,\left\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}} < 2$ ．
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 的等比数列，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{n}=\frac{n a_{n}}{3}$ ，已知 $a_{1}, 3 a_{2}, 9 a_{3}$ 成等差数列．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别为 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．证明：$T_{n} < \frac{S_{n}}{2}$ ．