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复数的综合运算与内积、几何意义

发布日期 2025/7/3 21:12:10      查看 5      加入组卷      查看作者     
单选题
已知复数 z 满足 $\mathrm{z}(a-\mathrm{i})=2$ ，其中 i 为虚数单位，若复数 z 的实部为 $\frac{4}{5}$ ，则实数 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{B.}$ $\frac{1}{2}$ 或 2 $\text{C.}$ $\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ $\text{D.}$ 2
$\frac{4+i}{2+i}=$
$\text{A.}$ $\frac{9}{5}-\frac{2}{5} i$ $\text{B.}$ $\frac{9}{5}+\frac{2}{5} i$ $\text{C.}$ $-\frac{9}{5}-\frac{2}{5} i$ $\text{D.}$ $-\frac{9}{5}+\frac{2}{5} i$
已知 $i$ 是虚数单位，若 $z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i$ ，则 $z^{2}=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$ $\text{B.}$ $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i$
c．$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$ $\text{C.}$ $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i$ $\text{D.}$
$(1-2 \mathrm{i})^{2}-(1+\mathrm{i})^{2}=(\quad)$
$\text{A.}$ $-3-2 \mathrm{i}$ $\text{B.}$ $-3-6 \mathrm{i}$ $\text{C.}$ $3-2 \mathrm{i}$ $\text{D.}$ $3-6 \mathrm{i}$
设复数 $z$ 满足 $(2-3 i) z=3+2 i$ ，则 $|z|=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{B.}$ $\sqrt{2}$ $\text{C.}$ 1 $\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
若 $z=-1+\mathrm{i}$ ．设 $\omega=z \bar{Z}$ ，则 $\omega=()$
$\text{A.}$ 2 i $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ $2+2 \mathrm{i}$ $\text{D.}$ $2-2 \mathrm{i}$
填空题
已知复数 $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{y} i$ ，且 $|\mathrm{z}-2|=\sqrt{3}$ ，则 $\frac{\mathrm{y}}{{x}}$ 的最大值为 $\qquad$
设 $x \in \mathbf{R}$ ，记 $[x]$ 为不大于 $x$ 的最大整数，$\{x\}$ 为不小于 $x$ 的最小整数．设集合
$A=\{z \mid 2 \leq[|z|] \leq 3, z \in C\}, B=\{z \mid 2 \leq\{|z|\} \leq 3, z \in C\}$ ，则 $A$ I $B$ 在复平面内对应的点的图形面积是 $\qquad$
解答题
设复数 $z=\log _{2}\left(m^{2}-3 m-3\right)+\mathrm{i} \log _{2}(m-2), m \in \mathbf{R}$ 对应的向量为 $\overrightarrow{O Z}$ ．
（1）若 $\overrightarrow{O Z}$ 的终点 $Z$ 在虚轴上，求实数 $m$ 及 $|\overrightarrow{O Z}|$ 的值；
（2）若 $\overrightarrow{O Z}$ 的终点 $Z$ 在第二象限内，求实数 $m$ 的取值范围．
已知复数 $z_{1}=2-2 i(i$ 为虚数单位 $)$ 在复平面内对应的点为 $P_{1}$ ，复数 $z_{2}$ 满足 $\left|z_{2}-i\right|=1$ ，则下列结论不正确的是
A．$P_{1}$ 点的坐标为 $(2,-2)$
B．$\overline{z_{1}}=2+2 i$
C．$\left|z_{2}-z_{1}\right|$ 的最大值为 $\sqrt{13}+1$
D．$\left|z_{2}-z_{1}\right|$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$
已知复数 $z$ 满足 $(1-\mathrm{i}) z=2+3 \mathrm{i}$（ i 为虚数单位），则 $z=()$
A．$-\frac{1}{2}+\frac{5}{2} \mathrm{i}$
B．$\frac{1}{2}+\frac{5}{2} \mathrm{i}$
C．$\frac{1}{2}-\frac{5}{2} \mathrm{i}$
D．$-\frac{1}{2}-\frac{5}{2} \mathrm{i}$
已知复数 $z$ 满足 $\mathrm{zi}^{2021}=4 \mathrm{i}^{2022}-3 \mathrm{i}^{2023}$ ，则 $z=()$
A． $4+3 \mathrm{i}$
B． $4-3 \mathrm{i}$
C． $3+4 \mathrm{i}$
D． $3-4 \mathrm{i}$
设 i 为虚数单位，若复数 $(1-\mathrm{i})(1+a \mathrm{i})$ 是纯虚数，则实数 $a$ 的值为（ ）
A．-1
B． 0
C． 1
D． 2
已知 $\frac{a+3 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$（i 为虚数单位，$a \in \mathbf{R}$ ）为纯虚数，则 $a=()$
A．-1
B． 1
C．-3
D． 3
多选题
已知复数 $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}, \bar{Z}_{1}$ 是 $Z_{1}$ 的共轭复数，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $z_{1}+z_{2}=0$ ，则 $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|$ $\text{B.}$ 若 $z_{2}=\bar{z}_{1}$ ，则 $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|$ $\text{C.}$ 若 $z_{3}=z_{1} z_{2}$ ，则 $\left|z_{3}\right|=\left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$ $\text{D.}$ 若 $\left|z_{1}+1\right|=\left|z_{2}+1\right|$ ，则 $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|$
下列命题正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $z_{1}, z_{2}$ 为复数，则 $\left|z_{1} z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|$ $\text{B.}$ 若 $a, b$ 为向量，则 $\left|a \cdot b\right|=\left|a\right| \cdot\left| b\right|$ $\text{C.}$ 若 $z_{1}, z_{2}$ 为复数，且 $\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right|$ ，则 $z_{1} z_{2}=0$ $\text{D.}$ 若 ${a},{b}$ 为向量，且 $\left|a+b\right|=|a-b|$ ，则 $ a \cdot b=0$

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