我市里运河风光带的国师塔，高大挺拔，古朴雄浑，别具一格．小明想知道国师塔的高度，在附近一高层小区顶楼 $A$ 处，测得国师塔塔顶 $D$ 处的俯角 $\angle E A D=9.7^{\circ}$ ，塔底 $C$ 处俯角 $\angle E A C=26.6^{\circ}$ ，小明所在位置高度 $A B=95 m$ ．
（1）求两栋建筑物之间的水平距离 $B C$ ；
（2）求国师塔高度 $C D$ ．（结果精确到 1 m ）（参考数据： $\sin 9.7^{\circ} \approx 0.17, \tan 9.7^{\circ} \approx 0.17, \sin 26.6^{\circ} \approx$ $0.45, \tan 26.6^{\circ} \approx 0.50$ ）

如图，保定市某中学在实施＂五项管理＂中，将学校的＂五项管理＂做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚 $A$ 处测得宣传牌底部 $D$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ，沿该中学围墙边坡 $A B$ 向上走到 $B$ 处测得宣传牌顶部 $C$ 的仰角为 $45^{\circ}$ ．已知山坡 $A B$ 的坡度为 $i=1: 3, A B=2 \sqrt{10} m, A E=8 m$ ．
（1）求点 $B$ 距水平面 $A E$ 的高度 $B H$ ；
（2）求宣传牌 $C D$ 的高度．（结果保留根号）

如图，小明在大楼 $45 m$ 高（即 $P H=45 m$ ，且 $P H \perp H C$ ）的窗口 $P$ 处进行观测，测得山坡上 $A$ 处的俯角为 $15^{\circ}$ ，山脚 $B$ 处的俯角为 $60^{\circ}$ ，已知该山坡的坡度 i （即 $\tan \angle A B C$ ）为 $1: \sqrt{3}$（点 $P, H, B, C, A$ 在同一个平面上，点 $H, B, C$ 在同一条直线上）．
（1）$\angle P B A$ 的度数等于 $\qquad$度（直接填空）
（2）求 $A, B$ 两点间的距离（结果精确到 0.1 m ，参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414, \sqrt{3} \approx 1.732$ ）

我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿 $A B$ 摆成如图 1 所示．已知 $A B=4.8 m$ ，鱼竿尾端 $A$ 离岸边 0.4 m ，即 $A D=0.4 m$ ．海面与地面 $A D$ 平行且相距 1.2 m ，即 $D H=1.2 m$ ．（参考数据： $\sin 37^{\circ}=\cos 53^{\circ} \approx \frac{3}{5}, \cos 37^{\circ}=\sin 53^{\circ} \approx \frac{4}{5}, \tan 37^{\circ} \approx \frac{3}{4}, \sin 22^{\circ}=\frac{3}{8}, \cos 22^{\circ} \approx \frac{15}{16}, \tan 22^{\circ} \approx \frac{2}{5}$ ）
（1）如图 1，在无鱼上钩时，鱼竿 $A B$ 与地面 $A D$ 的夹角 $\angle B A D=22^{\circ}$ ，海面上方的鱼线 $B C$ 与海面 $H C$ 成一定角度．求点 $B$ 到海面 $H C$ 的距离；
（2）如图 2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角 $\angle B A D=53^{\circ}$ ，此时鱼线被拉直，鱼线 $B O=5.46 m$ ，点 $O$ 恰好位于海面．求点 $O$ 到岸边 $D H$ 的距离．

如图 1，图 2 分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆 $D E$ 、箱长 $B C$ 、拉杆 $A B$ 的长度都相等，即 $D E=B C=A B$ ，点 $B 、 F$ 在线段 $A C$ 上，点 $C$ 在 $D E$ 上，支杆 $D F=30 cm$ ， $C E: C D=1: 3, \angle D C F=45^{\circ}, \angle C D F=30^{\circ}$ ．请根据以上信息，解决下列问题；参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41, \sqrt{3}$ $\approx 1.73, \sqrt{6} \approx 2.45$ ．
（1）求 $A C$ 的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点 $A$ 到水平滑杆 $E D$ 的距离（结果保留到 1 cm ）．

桔槔俗称＂吊杆＂＂称杆＂（如图 1），是我国古代农用工具，始见于《墨子．备城门》，是一种利用杜杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，$O M$ 是垂直于水平地面的支撑杆，$O M=3$ 米，$A B$ 是杜杆，且 $A B=6$米，$O A: O B=2: 1$ ．当点 $A$ 位于最高点时，$\angle A O M=127^{\circ}$ ．
（1）求点 $A$ 位于最高点时到地面的距离；
（2）当点 $A$ 从最高点逆时针旋转 $54.5^{\circ}$ 到达最低点 $A_1$ 时，求此时水桶 $B$ 上升的高度．
（考数据： $\sin 37^{\circ} \approx 0.6, \sin 17.5^{\circ} \approx 0.3, \tan 37^{\circ} \approx 0.8$ ）

为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏＂滚铁环＂列入了校运动会的比赛项目。滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环 $\odot O$ 与水平地面相切于点 $C$ ，推杆 $A B$与铅垂线 $A D$ 的夹角为 $\angle B A D$ ，点 $O, A, B, C, D$ 在同一平面内．当推杆 $A B$ 与铁环 $\odot O$ 相切于点 $B$ 时，手上的力量通过切点 $B$ 传递到铁坏上，会有较好的启动效果．
（1）求证：$\angle B O C+\angle B A D=90^{\circ}$ ．
（2）实践中发现，切点 $B$ 只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点 $B$ 是该区域内最低位置，此时点 $A$ 距地面的距离 $A D$ 最小，测得 $\cos \angle B A D=\frac{3}{5}$ ．已知铁环 $\odot O$ 的半径为 25 cm ，推杆 $A B$ 的长为 75 cm ，求此时 $A D$ 的长．