定义：由两条与 $x$ 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为＂月牙线＂，如图 ① ，抛物线 $C_1: y=x^2+2 x-3$ 与抛物线 $C_2: y=a x^2+2 a x+c$ 组成一个开口向上的＂月牙线＂，抛物线 $C_1$ 和抛物线 $C_2$ 与 $x$ 轴有着相同的交点 $A(-3,0), ~ B$（点 $B$ 在点 $A$ 右侧），与 $y$ 轴的交点分别为 $G, ~ H(0,-1)$ ．

（1）求拋物线 $C_2$ 的解析式和点 $G$ 的坐标．
（2）点 $M$ 是 $x$ 轴下方拋物线 $C_1$ 上的点，过点 $M$ 作 $M N \perp x$ 轴于点 $N$ ，交抛物线 $C_2$ 于点 $D$ ，求线段 $M N$ 与线段 $D M$ 的长度的比值．
（3）如图 ② ，点 $E$ 是点 $H$ 关于拋物线对称轴的对称点，连接 $E G$ ，在 $x$ 轴上是否存在点 $F$ ，使得 $\triangle E F G$ 是以 $E G$ 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 图象上的点 $A(x, y)$ 的横坐标不变，纵坐标变为 A 点的横，纵坐标之和，就会得到的一个新的点 $A_1(x, x+y)$ ，他们把这个点 $A_1$ 定义为点 A 的＂简朴＂点．他们发现：二次函数 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 的＂简朴曲线＂．例如，二次函数 $y=x^2+x+1$ 的＂简朴曲线＂就是 $y=x^2+x+1+x=x^2+2 x+1$ ，请按照定义完成：
（1）点 $P(1,2)$ 的＂简朴＂点是 $\qquad$ ；
（2）如果抛物线 $y=a x^2-7 x+3(a \neq 0)$ 经过点 $M(1,-3)$ ，求该抛物线的＂简朴曲线＂；
（3）已知拋物线 $y=x^2+b x+c$ 图象上的点 $B(x, y)$ 的＂简朴点＂是 $B_1(-1,1)$ ，若该拋物线的＂简朴曲线＂的顶点坐标为 $(m, n)$ ，当 $0 \leq c \leq 3$ 时，求 $n$ 的取值范围．

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｜定义：若二次函数 $y=a_1(x-h)^2+k$ 的图象记为 $C_1$ ，其顶点为 $A(h, k)$ ，二次函数 $y=a_2(x-k)^2+h$的图象记为 $C_2$ ，其顶点为 $B(k, h)$ ，我们称这样的两个二次函数互为＂反顶二次函数＂．
分类一：若二次函数 $C_1: y=a_1(x-h)^2+k$ 经过 $C_2$ 的顶点 $B$ ，且 $C_2: y=a_2(x-k)^2+h$ 经过 $C_1$ 的顶点 $A$ ，我们就称它们互为＂反顶伴侣二次函数＂．
（1）所有二次函数都有＂反顶伴侣二次函数＂是 $\qquad$命题．（填＂真＂或＂假＂）
（2）试求出 $y=x^2-4 x+5$ 的＂反顶伴侣二次函数＂．
（3）若二次函数 $C_1$ 与 $C_2$ 互为＂反顶伴侣二次函数＂，试探究 $a_1$ 与 $a_2$ 的关系，并说明理由．
（4）分类二：若二次函数 $C_1: y=a_1(x-h)^2+k$ 可以绕点 $M$ 旋转 $180^{\circ}$ 得到二次函数 $C_2 ; y=a_2(x-k)^2+h$ ，我们就称它们互为＂反顶旋转二次函数＂．
① 任意二次函数都有＂反顶旋转二次函数＂是 $\qquad$命题．（填＂真＂或＂假＂）
② 互为＂反顶旋转二次函数＂的对称中心点 $M$ 有什么特点？
③ 如图，$C_1, C_2$ 互为＂反顶旋转二次函数＂，点 $E, F$ 的对称点分别是点 $Q, G$ ，且 $E F / / G Q / / x$ 轴，当四边形 $E F Q G$ 为矩形时，试探究二次函数 $C_1, C_2$ 的顶点有什么关系．并说明理由．

定义：将二次函数 $l$ 的图象沿 $x$ 轴向右平移 $t$ ，再沿 $x$ 轴翻折，得到新函数 $l^{\prime}$ 的图象，则称函数 $l^{\prime}$是函数 $l$ 的＂$t$ 值衍生抛物线＂．已知 $l: y=x^2-2 x-3$ ．


（1）当 $t=-2$ 时，
① 求衍生拋物线 $l^{\prime}$ 的函数解析式；
② 如图 1，函数 $l$ 与 $l^{\prime}$ 的图象交于 $M(-\sqrt{3}, n), N(m,-2 \sqrt{3})$ 两点，连接 $M N$ ．点 $P$ 为抛物线 $l^{\prime}$ 上一点，且位于线段 $M N$ 上方，过点 $P$ 作 $P Q / / y$ 轴，交 $M N$ 于点 $Q$ ，交抛物线 $l$ 于点 $G$ ，求 $S_{\triangle} Q N G$ 与 $S_{\Delta} P N G$ 存在的数量关系。
（2）当 $t=2$ 时，如图 2，函数 $l$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $A C$ ．函数 $l^{\prime}$ 与 $x$ 轴交于 $D, E$两点，与 $y$ 轴交于点 $F$ ．点 $K$ 在拋物线 $l^{\prime}$ 上，且 $\angle E F K=\angle O C A$ ．请直接写出点 $K$ 的横坐标．

定义：关于 $x$ 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作＂镜像拋物线＂．
例如：$y=(x-h)^2-k$ 的＂镜像拋物线＂为 $y=-(x-h)^2+k$ ．



（1）请写出抛物线 $y=(x-2)^2-4$ 的顶点坐标 $\qquad$ ，及其＂镜像拋物线 $y=-(x-2)^2+4$ 的顶点坐标 $\qquad$ ．写出拋物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}$ 的＂镜像抛物线＂为 $\qquad$ ．
（2）如图，在平面直角坐标系中，点 $B$ 是抛物线 $L: y=a x^2-4 a x+1$ 上一点，点 $B$ 的横坐标为 1 ，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线 $L$ 的＂镜像抛物线＂于点 $C$ ，分别作点 $B, C$ 关于抛物线对称轴对称的点 $B^{\prime}, C^{\prime}$ ，连接 $B C$ ， $C C^{\prime}, B C^{\prime}, B B^{\prime}$ ．
① 当四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 为正方形时，求 $a$ 的值．
② 求正方形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横，纵坐标均为整数的点）