定义：关于 $x$ 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作＂镜像拋物线＂．
例如：$y=(x-h)^2-k$ 的＂镜像拋物线＂为 $y=-(x-h)^2+k$ ．



（1）请写出抛物线 $y=(x-2)^2-4$ 的顶点坐标 $\qquad$ ，及其＂镜像拋物线 $y=-(x-2)^2+4$ 的顶点坐标 $\qquad$ ．写出拋物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}$ 的＂镜像抛物线＂为 $\qquad$ ．
（2）如图，在平面直角坐标系中，点 $B$ 是抛物线 $L: y=a x^2-4 a x+1$ 上一点，点 $B$ 的横坐标为 1 ，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线 $L$ 的＂镜像抛物线＂于点 $C$ ，分别作点 $B, C$ 关于抛物线对称轴对称的点 $B^{\prime}, C^{\prime}$ ，连接 $B C$ ， $C C^{\prime}, B C^{\prime}, B B^{\prime}$ ．
① 当四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 为正方形时，求 $a$ 的值．
② 求正方形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横，纵坐标均为整数的点）