定义：由两条与 $x$ 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为＂月牙线＂，如图 ① ，抛物线 $C_1: y=x^2+2 x-3$ 与抛物线 $C_2: y=a x^2+2 a x+c$ 组成一个开口向上的＂月牙线＂，抛物线 $C_1$ 和抛物线 $C_2$ 与 $x$ 轴有着相同的交点 $A(-3,0), ~ B$（点 $B$ 在点 $A$ 右侧），与 $y$ 轴的交点分别为 $G, ~ H(0,-1)$ ．
（1）求拋物线 $C_2$ 的解析式和点 $G$ 的坐标．
（2）点 $M$ 是 $x$ 轴下方拋物线 $C_1$ 上的点，过点 $M$ 作 $M N \perp x$ 轴于点 $N$ ，交抛物线 $C_2$ 于点 $D$ ，求线段 $M N$ 与线段 $D M$ 的长度的比值．
（3）如图 ② ，点 $E$ 是点 $H$ 关于拋物线对称轴的对称点，连接 $E G$ ，在 $x$ 轴上是否存在点 $F$ ，使得 $\triangle E F G$ 是以 $E G$ 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求拋物线 $C_2$ 的解析式和点 $G$ 的坐标．
（2）点 $M$ 是 $x$ 轴下方拋物线 $C_1$ 上的点，过点 $M$ 作 $M N \perp x$ 轴于点 $N$ ，交抛物线 $C_2$ 于点 $D$ ，求线段 $M N$ 与线段 $D M$ 的长度的比值．
（3）如图 ② ，点 $E$ 是点 $H$ 关于拋物线对称轴的对称点，连接 $E G$ ，在 $x$ 轴上是否存在点 $F$ ，使得 $\triangle E F G$ 是以 $E G$ 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．