解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
写出下列随机试验的样本空间：
（1）郑一枚均匀的骰子两次，观察两次出现的点数之和；
（2）某篮球运动员投篮时，要求连续 5 次投中，观察其投篮的次数；
（3）记录某班一次数学考试的平均成绩（以百分制记）；
（4）一射手进行射击，直到击中时为止，观察其射击情况；
（5）在单位圆内任选两点，观察这两点的距离；
（6）观察某地一天内的最高气温和最低气温（假定最低气温不低于 $T_1$ ，最高气温不高于 $T_2$ ）。
一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1000 个同样大小的 8小正方体．从这些小正方体中任取一个，求这一小正方体的两面涂有油漆的概率．
任取一整数 $N$ ，求 $N^3$ 的最后两个数字均为 1 的概率。
从 $1,2, \cdots, n$ 中任取两个，求所得两数之和为偶数的概率．
从 $0,1, \cdots, 9$ 中有放回地连取 4 个数，并按出现的先后次序排列，求下列事件的概率：
（1）$A_1$ ：四个数字组成一四位数；
（2）$A_2$ ：四个数字组成一四位偶数；
（3）$A_3$ ：四个数字中 0 恰好出现两次；
（4）$A_4$ ：四个数字中 0 至少出现一次．
一部电梯从底层开始启动时有 6 位乘客，设每位乘客在十层楼的任何一层离开的可能性相同．试求下列事件的概率：
（1）$A$ ：某指定的一层有两位乘客离开；
（2）$B$ ：没有两位及两位以上的乘客在同一层离开；
（3）$C$ ：恰有两位乘客在同一层离开；
（4）D：至少有两位乘客在同一层离开。
口袋中有 $n-1$ 只黑球及 1 只白球，每次从袋中取出一球，并换入 1 只黑球，如此继续下去．求第 $k$ 次取到黑球的概率。
从 $1,2, \cdots, N$ 中每次有放回地任取一数，共取 $k(1 \leqslant k \leqslant N)$次，求下列事件的概率：
（1）$A: k$ 个数字全不相同；
（2）B：不含 $1,2, \cdots, N$ 中指定的某 $r$ 个数字；
（3）$C$ ：某指定的一个数字恰好出现 $m(m \leqslant k)$ 次；
（4）$D: k$ 个数字中的最大数为 $M(1 \leqslant M \leqslant N)$ ；
（5）$E: k$ 个数字严格上升。
甲，乙，丙三人按下面的规则进行比赛：第一局甲，乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者与丙进行第二局比赛，而失败者轮空，比赛用这种方式进行到其中一人连胜两局为止，连胜两局者为整场比赛的优胜者。若甲，乙，丙胜每局的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，问甲，乙，丙成为整场比赛的优胜者的概率各是多少？
某班 $n$ 个战士各有 1 支枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了 1 支枪，求至少有 1 人拿到自己的枪的概率．
在水平面上沿直线 $A B$ 垂直地摆着一些半径为 $r$ 的相同的圆柱体，中心之间的间隔为 $l$ ．以角度 $\alpha$ 向直线投一半径为 $R$ 的球．如果球的运动轨迹与直线 $A B$ 等可能地相交于任何一点，求球与圆柱体相碰的概率。
把一根长为 $a$ 的木棒任意地折成三段，求这三段能构成一个三角形的概率。
任取两个正的真分式，其和不大于 1 ，且其积不大于 $\frac{2}{9}$ 的概率是多少？