解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，且 $X$ 的密度函数为
$$
p_X(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{\theta} & 0 < x < \theta \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta>0$ ，求 $E[\max \{X, Y\}]$ ．
设二维连续型随机向量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为
$$
p(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
12 y^2 & 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant 1 \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
求 $\rho_{X^{\prime}}$ ．
设二维连续型随机向量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为
$$
p(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{\pi} & x^2+y^2 \leqslant 1 \\ 0 & x^2+y^2>1\end{cases}
$$
求相关系数 $\rho_{X Y}$ ，并且讨论 $X$ 与 $Y$ 的独立性．
设 $X$ 和 $Y$ 为两个随机变量，已知 $D X=1, D Y=4, \operatorname{Cov}(X, Y)$ $=1$ ，记 $X_1=X-2 Y, X_2=2 X-Y$ ，试求 $X_1$ 和 $X_2$ 的相关系数。
设 $X_1$ 和 $X_2$ 独立同分布，且 $X_1 \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ ，令 $Y_1=X_1-\frac{1}{2} X_2, Y_2=\frac{1}{2} X_1-X_2$ ，问：
（1）$Y_1$ 和 $Y_2$ 同分布吗？
（2）$Y_1$ 和 $Y_2$ 独立吗？
设二维随机向量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为
$$
p(x, y)=\frac{1}{2}\left[\varphi_1(x, y)+\varphi_2(x, y)\right]
$$
其中 $\varphi_1(x, y)$ 和 $\varphi_2(x, y)$ 都是二维正态分布的联合密度函数，且它们对应的二维随机向量的相关系数分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $-\frac{1}{3}$ 。它们的边际密度函数所对应的随机变量的数学期望都是 0 ，方差都是 1 。
（1）求随机变量 $X$ 和 $Y$ 的密度函数 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ ，及 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ 。
（2）问 $X$ 和 $Y$ 是否独立？为什么？
（3）$(X, Y)$ 是否服从二维正态分布？
设 $X$ 和 $Y$ 都是标准化的随机变量，$\rho_{X Y}=\frac{1}{2}$ ，令 $Z_1=a X, Z_2=$ $b X+c Y$ ，试确定 $a, b, c$ 的值，使 $D Z_1=D Z_2=1$ ，且 $Z_1$ 与 $Z_2$ 不相关。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $g(x)$ 是正值不减函数，$X$ 是连续型随机变量，且 $g(X)$ 的数学期望存在．证明：$P(X \geqslant a) \leqslant \frac{E[g(X)]}{g(a)}$ ．