证明题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $n$ 为正整数，$a_1, a_2, \cdots, a_n ; b_1, b_2, \cdots, b_n$ 都是实数且 $n \geq 2$ ，
求 $n$ 阶行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}a_1+b_1 & a_1+b_2 & \cdots & a_1+b_n \\ a_2+b_1 & a_2+b_2 & \cdots & a_2+b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n+b_1 & a_n+b_2 & \cdots & a_n+b_n\end{array}\right|$ 的值．
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 为
$$
\left\{\begin{array}{l}
\beta_1=2 \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 \\
\beta_2=-\alpha_1+3 \alpha_2+4 \alpha_3 \\
\beta_3=\alpha_1+\alpha_3
\end{array}\right.
$$
问 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是线性相关还是线性无关？并说明理由．
设 $A=\left(\begin{array}{lll}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)$ ．证明：若 $3 \times 3$ 矩阵 $B$ 和 $A$ 乘积可交换，则存在多项式 $f(x)$ ，使得 $B=f(A)$ ．
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & 0\end{array}\right)$ ．求关于变元 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 的方程
$$
\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) A^T A\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{array}\right)
$$
的所有实数解
设 $M_n( R )$ 为所有 $n \times n$ 实矩阵构成的向量空间，设
$$
f: M_n( R ) \mapsto M_n( R ) ; X \rightarrow \frac{1}{2}\left(X+X^T\right)
$$
证明：$f$ 为线性变换，并求 $f$ 的核与秩．
设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，$\alpha, \beta$ 为 $n$ 维实列向量，证明： $\left( \alpha ^T \beta \right)^2 \leq\left( \alpha ^T A \alpha \right)\left( \beta ^T A ^{-1} \beta \right)$ ，等号成立当且仅当 $A \alpha$ 与 $\beta$ 线性相关．