单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
已知 4 维列向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
$\text{A.}$ $\alpha _1- \alpha _2, \alpha _2- \alpha _3, \alpha _3- \alpha _4, \alpha _4- \alpha _1$
$\text{B.}$ $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _4, \alpha _4+ \alpha _1$
$\text{C.}$ $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3- \alpha _4, \alpha _4- \alpha _1$
$\text{D.}$ $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _4, \alpha _4- \alpha _1$
设向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 的秩为 $r(r < s)$ ，则下列说法错误的是 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 中至少有一个由 $r$ 个向量组成的部分组线性无关
$\text{B.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 中任何 $r$ 个线性无关向量组成的部分组与 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 是等价向量组
$\text{C.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 中任何 $r$ 个向量的部分组都线性无关
$\text{D.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 中任何 $r+1$ 个向量的部分组都线性相关
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 是 $s$ 个 $n$ 维向量，下列论断正确的是（ ）。
（A）若 $\alpha _s$ 不能由 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _{s-1}$ 线性表出，则向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 线性无关
（B）已知存在不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_{s-1}$ ，使得 $k_1 \alpha _1+k_2 \alpha _2+\cdots+k_{s-1} \alpha _{s-1}+0 \alpha _s= 0$
则 $\alpha _s$ 不能由 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _{s-1}$ 线性表出
（C）若 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 线性相关，则任一向量均可由其余向量线性表出
（D）若 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 线性相关， $\alpha _s$ 不能由 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _{s-1}$ 线性表出，则 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _{s-1}$ 线性相关
求向量组
$$
\begin{gathered}
\beta _1=[1,2,1,3]^{T}, \quad \beta _2=[1,1,-1,1]^{T}, \quad \beta _3=[1,3,3,5]^{T}, \\
\beta _4=[4,5,-3,6]^{T}, \quad \beta _5=[-3,-5,-2,-7]^{T}
\end{gathered}
$$
的秩，极大线性无关组，并将其余的向量用极大线性无关组线性表出．
设向量组（I） $\alpha _1=[1,0,2]^{ T }, \alpha _2=[0,1,1]^{ T }, \alpha _3=[2,-1, a+4]^{ T }$ ，向量组（II） $\beta _1=$ $[1,2,4]^{ T }, \beta _2=[1,-1, a+2]^{ T }, \beta _3=[3,3,10]^{ T }$ ，矩阵 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & a+4\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & a+2 & 10\end{array}\right]$ ．
问：（1） $A , B$ 是否等价？说明理由；
（2）向量组（I） $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 与（II） $\beta _1, \beta _2, \beta _3$ 是否等价？说明理由．
求向量组
$$
\alpha _1=[1,2,-5]^{T}, \quad \alpha _2=[2,-1,2]^{T}, \quad \alpha _3=[4,3,-8]^{T}, \quad \alpha _4=[7,-1,1]^{T}
$$
的秩，极大线性无关组，并将其余向量由极大线性无关组线性表出．