解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $R ^3$ 中由四点 $A(1,1,1), B(2,4,8), C(3,9,27), D(5,25,125)$构成的三棱锥体积．
设 $A \in M_n( R )$ ，且 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$ ，求矩阵
$$
\left(\begin{array}{cc}
A & 4 I_n \\
I_n & A
\end{array}\right)
$$
的特征值。
设 $\alpha=(1,-1,1,-1)^{\prime}, \beta=(1,3,2,-1)^{\prime}$ ，求一个正定矩阵 $A$ ，使得 $\beta=A \alpha$
求 $n$ 元实二次型
$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j
$$
的负惯性指数。
证明题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $V$ 是 $M_n( R )$ 的线性子空间，若 $V$ 中任意非零矩阵都是可逆的，证明： $\operatorname{dim} V \leq n$ ．
设 $A \in M_{m \times n}( R ), r (A)=m < n$ ，证明：存在矩阵 $B \in M_{(n-m) \times n}( R )$ 使得
$\binom{A}{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，且 $A B^{\prime}=O$
证明：多项式
$$
f(x)=\prod_{i=1}^{18}(x-i)+23
$$
在 $Q$ 上不可约。
设
$$
A \in M_n( R ), n \geq 2, r(A)=n-1
$$
考虑 $V=M_n( R )$ 上的映射
$$
\varphi(X)=A X+X A
$$
证明：$\varphi$ 不是满射．
设 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 为欧氏空间 $V= R ^n$ 的一组标准正交基，且 $v_1, v_2, \cdots, v_n \in V$ 满足对所有的 $i=1,2, \cdots, n$ 成立
$$
\left\|e_i-v_i\right\| < \frac{1}{\sqrt{n}}
$$