本试卷总分150分,考试时间120分钟。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷由kmath.cn自动生成。
学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知空间的两条直线
$$
l_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+3}{2}, l_2: \frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+1}{1} \text {. }
$$
(1) 证明 $l_1$ 和 $l_2$ 异面.
(2) 求 $l_1$ 和 $l_2$ 公垂线的标准方程.
(3) 求连接 $l_1$ 上的任一点和 $l_2$ 上的任一点线段中点的轨迹的一般方 程，并判断其形状.
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导函数且 $f(a)=0$ ，证明:
$$
\int_a^b\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{b-a}{2} \int_a^b\left[f^{\prime}(x)\right]^2 \mathrm{~d} x .
$$
证明级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{3 n-2}$ 条件收敛并求其和.
设 $u=f(z)$ ，其中 $z$ 为方程式 $z=x+y \varphi(z)$ 所定义的关于变 量 $x$ 和 $y$ 的隐函数. 试证:
$$
\frac{\partial^n u}{\partial y^n}=\frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}}\left\{[\varphi(z)]^n \frac{\partial u}{\partial x}\right\},\left(n \in \mathbb{Z}^{+}\right) .
$$
设 $F(r)=\int_0^{2 \pi} \mathrm{e}^{r \cos \theta} \cos (r \sin \theta) \mathrm{d} \theta, r \in R$. 证明:
$$
F(r) \equiv 2 \pi .
$$
设 $V_1, V_2$ 是数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的二个子空间，且
$$
\operatorname{dim}\left(V_1\right)+\operatorname{dim}\left(V_2\right)=\operatorname{dim}(V)=n .
$$
证明: 必存在一个线性变换 $\sigma$ ，使得
$$
\operatorname{Im}(\sigma)=V_2, \operatorname{Ker}(\sigma)=V_1 .
$$
设 $\sigma$ 是数域 $\mathrm{K}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换. 如果 $\sigma$ 的矩阵 可以对角化，则对 $\sigma$ 的任意一个不变子空间 $M$ ，证明:
(1) $\left.\sigma\right|_M$ 的矩阵也可以对角化.
(2) 存在 $\sigma$ 的不变子空间 $N$ ，使得 $V=M \oplus N$.