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设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导函数且 $f(a)=0$ ，证明:
$$
\int_a^b\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{b-a}{2} \int_a^b\left[f^{\prime}(x)\right]^2 \mathrm{~d} x .
$$
                        
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