解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
2^4+1 & 2^3 & 2^2 & 2 \\
3^4+1 & 3^3 & 3^2 & 3 \\
4^4+1 & 4^3 & 4^2 & 4 \\
5^4+1 & 5^3 & 5^2 & 5
\end{array}\right|
$$
已知矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0 \\
1 & -1 & 1 \\
-1 & -1 & 1
\end{array}\right),
$$
计算 $\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{A}^{100}\right)$.
记 $V=\mathbb{R}[x]_4$ 为次数小于 4 的实系数一元多项式组成的线性空间, 定义 $V$ 上的映射 $\varphi$ 为 $\varphi(f(x))=f(x)-f(0)+f^{\prime}(x)$.
(1) 求 $\varphi$ 在基 $1, x, x^2, x^3$ 下的矩阵.
(2) 求 $\varphi$ 的特征值与特征向量.
设 $\boldsymbol{A} \in M_n(\mathbb{R}), n$ 为大于 1 的奇数, $\boldsymbol{A}^{\prime}=\boldsymbol{A}^*$, 求 $\operatorname{det}\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}\right)$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶正定实对称阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶实反对称阵, 证明: $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|>0 .$
设 $f(x) \in \mathbb{R}[x]$, 且 $\operatorname{deg} f(x)>1$, 证明: 存在非零多项式 $g(x) \in$ $\mathbb{R}[x]$, 使得 $f(x) \mid g\left(x^8\right)$.
设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 且 $\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 是 $V$中的两个向量组, 其秩分别是 $r_1, r_2$, 若 $\boldsymbol{C} \in M_{r \times s}(\mathbb{K})$ 满足 $\boldsymbol{\beta}_j=\sum_{i=1}^r c_{i j} \boldsymbol{\alpha}_i, j=1,2, \cdots, s .$
证明: $\mathrm{r}(\boldsymbol{C}) \leq r_2-r_1+r$.
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \in M_n(\mathbb{R}), \mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$, 证明: $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 相似.