证明题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $1 \leqslant p < r < p^{\prime}, f \in \mathscr{L}^p(E) \cap \mathscr{L}^{p^{\prime}}(E)$ ．证明：$f \in \mathscr{L}^r(E)$ ．
设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的正值 Lebesgue 可测函数．证明：
$$
\left(\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right)\left(\frac{1}{b-a} \int_a^b \frac{\mathrm{~d} x}{f(x)}\right) \geqslant 1 .
$$
设 $0 < p, q < +\infty$ ．证明：
$$
\mathscr{L}^p(E) \cdot \mathscr{L}^q(E)=\mathscr{L}_{p+q}^{\not q q}(E),
$$
其中 $\mathscr{L}^p(E) \cdot \mathscr{L}^q(E)=\left\{f \cdot g \mid f \in \mathscr{L}^p(E), g \in \mathscr{L}^q(E)\right\}$ 。
设 $f(x), g(x)$ 为 $E$ 上非负可测函数． $1 \leqslant p < +\infty, 1 \leqslant q < +\infty, 1 \leqslant r \leqslant+\infty$ ， $\frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}-1$ ．证明 ：
$$
\int_E f(x) g(x) \mathrm{d} x \leqslant\|f\|_p^{1-\frac{p}{r}}\|g\|_q^{1-\frac{q}{r}}\left(\int_E f^p(x) g^q(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{r}}
$$